Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de . Em caso afirmativo exiba geradores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de M(2,2). O conteúdo envolvido é a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que V não é vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Em seguida, se for subespaço, vamos exibir um sistema de geradores (base).
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
0=0&00&0
pertence a V pois nela b=0 e c=0, logo b=c. Assim Vneqvarnothing.
Passo 3
Sejam
em , isto é, em ambas as matrizes o elemento acima da diagonal é igual ao debaixo. Então
também satisfaz , logo . Para temos
e claramente , então . Isso mostra que é fechado sob soma e escalar.
Passo 4
Um elemento genérico de pode ser escrito como
onde . Note que
Portanto um sistema de geradores (base) de é
Resposta
V é subespaço de M(2,2) e pode ser gerado pelos três vetores