Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores
V=[lla & b c & d] ; com a, b, c, d in R, b=c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=la & b c & d;|;a,b,c,din R,;b=cr
é um subespaço de M(2,2). O conteúdo envolvido é a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que V não é vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Em seguida, se for subespaço, vamos exibir um sistema de geradores (base).

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
0=0&00&0
pertence a V pois nela b=0 e c=0, logo b=c. Assim Vneqvarnothing.

Passo 3

Sejam
em , isto é, em ambas as matrizes o elemento acima da diagonal é igual ao debaixo. Então
também satisfaz , logo . Para temos
e claramente , então . Isso mostra que é fechado sob soma e escalar.

Passo 4

Um elemento genérico de pode ser escrito como
onde . Note que
Portanto um sistema de geradores (base) de é

Resposta

V é subespaço de M(2,2) e pode ser gerado pelos três vetores
1&00&0, 0&11&0, 0&00&1

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