Para a matriz 4 times 4 tridiagonal segunda diferença (entradas -1,2,-1 ) encontre os cinco termos na fórmula geral que fornecem det A=16-4-4-4+1.

Passo 1

O enunciado pede os cinco termos na expansão do determinante de uma matriz 4times4 tridiagonal com entradas principais 2 e sub/sup-diagonais -1, de modo que
det A = 16 - 4 - 4 - 4 + 1

Passo 2

Para uma matriz tridiagonal simétrica de ordem n com diagonal principal alpha e sub/sup-diagonal beta, há a fórmula combinatória
det An ;=;sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^k,binomn-kk,alpha^,n-2k,beta^2k
Aqui alpha=2 e beta=-1, então
det An=sumk=0^lfloor n/2rfloor(-1)^kbinomn-kk2^,n-2k

Passo 3

Especializando em n=4, k varia em 0,1,2.
Para k=0:
binom40,2^4 ;=;16
Para k=1:
binom31,(-1),2^2 ;=;-3cdot4 ;=;-12
Para k=2:
binom22,(+1),2^0 ;=;1

Passo 4

O termo -12 de k=1 provém de três escolhas diferentes de um par de -1. Cada escolha contribui com
(-1)cdot2^2 ;=;-4
Logo surgem três parcelas -4, que somam -12.

Passo 5

Reunindo todas as parcelas isoladas, temos exatamente cinco termos na expansão:
16,;-4,;-4,;-4,;+1,
cuja soma é det A=16-4-4-4+1=5.

Resposta

16,,-4,,-4,,-4,,+1

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