Estabeleça as seguintes regras sobre funções pares e ímpares:
Se f e g são funções ímpares, então f+g é ímpar e f \cdot g é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas propriedades de funções ímpares:
  1. a soma de duas funções ímpares é ímpar;
  2. o produto de duas funções ímpares é par.
    O conteúdo aqui é definição de função ímpar e aplicação das regras algébricas de soma e produto.

Passo 2

Recordando a definição, dizemos que uma função h é ímpar se, para todo x no domínio de h, vale
h(-x) = -\,h(x).
Suponha então que f e g sejam funções ímpares, ou seja,
f(-x) = -\,f(x) \quad\text{e}\quad g(-x) = -\,g(x).

Passo 3

Vamos provar que f+g é ímpar. Para isso, calculamos
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = \bigl(-f(x)\bigr) + \bigl(-g(x)\bigr) = -\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = -(f+g)(x).
Como (f+g)(-x)=-(f+g)(x) para todo x, concluímos que f+g é ímpar.

Passo 4

Agora provamos que f\cdot g é par. Calculamos
(f\cdot g)(-x) = f(-x)\,g(-x) = \bigl(-f(x)\bigr)\,\bigl(-g(x)\bigr) = f(x)\,g(x) = (f\cdot g)(x).
Como (f\cdot g)(-x)=(f\cdot g)(x) para todo x, concluímos que f\cdot g é par.

Resposta

Se f e g são ímpares, então
(a) f+g é ímpar.
(b) f\cdot g é par.

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