Uma função do tipo f(x)=a x^{2}+b x+c, com a \neq 0, recebe o nome de Função Quadrática. Determine a função quadrática f que satisfaz f(0)=5, f(-1)=10 e f(1)=6.

Passo 1

O enunciado pede uma função quadrática da forma
f(x)=a x^{2}+b x+c,
com a\neq0, que satisfaça
f(0)=5,\quad f(-1)=10,\quad f(1)=6.
Vamos usar essas condições para montar um sistema e achar a, b e c.

Passo 2

Usando f(0)=5, temos
f(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c=5.
Logo
c=5.

Passo 3

Usando f(-1)=10, substituímos em f(x):
a\cdot(-1)^{2}+b\cdot(-1)+c=10
que fica
a - b + 5 = 10
e daí
a - b = 5.

Passo 4

Usando f(1)=6, substituímos em f(x):
a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=6
que fica
a + b + 5 = 6
e daí
a + b = 1.

Passo 5

O sistema obtido é
\begin{cases} a - b = 5,\\\ a + b = 1. \end{cases}
Somando as equações, vem
2a = 6\quad\implies\quad a = 3.
Substituindo a=3 em a + b = 1, obtemos
3 + b = 1\quad\implies\quad b = -2.

Passo 6

Com a=3, b=-2 e c=5, a função é
f(x)=3x^{2}-2x+5.

Resposta

A função quadrática é
f(x)=3x^{2}-2x+5.

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