Estabeleça as seguintes regras sobre funções pares e ímpares:
Se f e g são funções pares, então f+g e f \cdot g são funções pares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f e g são funções pares (isto é, satisfazem \,f(-x)=f(x) e \,g(-x)=g(x) para todo x em seus domínios), então tanto a soma f+g quanto o produto f\cdot g são também funções pares.

Passo 2

Pela definição de soma de funções, para todo x temos
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x).
Como f e g são pares, isto é, f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x), segue
(f+g)(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+g é par.

Passo 3

Pela definição de produto de funções, para todo x temos
(f\cdot g)(-x)=f(-x)\,g(-x).
Usando again que f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x), obtemos
(f\cdot g)(-x)=f(x)\,g(x)=(f\cdot g)(x),
logo f\cdot g é par.

Resposta

Tanto f+g quanto f\cdot g são funções pares.

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