Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{e^{x}}{1-x} ; \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=\frac{e^{x}}{1-x}
em torno de x=0. O conteúdo envolve usar séries conhecidas de e^{x} e de \frac{1}{1-x} e depois multiplicá-las para obter a série de f(x).

Passo 2

Recordamos a série de Taylor de e^{x} em x=0:
e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!},
válida para todo x.

Passo 3

Recordamos também a série geométrica para \frac{1}{1-x} em x=0:
\frac{1}{1-x} = \sum_{m=0}^{\infty} x^{m},
válida para \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Como
f(x)=e^{x}\,\frac{1}{1-x},
multiplicamos as duas séries termo a termo:
f(x) =\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\Bigr) \Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}x^{m}\Bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{n+m}}{n!}.
Para organizar em potências de x, definimos k=n+m e somamos em todas as maneiras de obter cada k:
f(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{n=0}^{k}\frac{1}{n!}\Bigr)\,x^{k}.

Resposta

\frac{e^{x}}{1-x} =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\sum_{n=0}^{k}\frac{1}{n!}\Bigr)x^{k}, \quad\text{com raio de convergência }|x|<1.ê

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