Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{2}{5+x} ; x=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=\frac{2}{5+x}
no ponto x=1. Vamos usar a ideia de escrever f(x) como uma série geométrica centrada em x=1.

Passo 2

Defina h = x - 1. Então
x = 1 + h \quad\Longrightarrow\quad f(x) = \frac{2}{5 + x} = \frac{2}{5 + 1 + h} = \frac{2}{6 + h}.

Passo 3

Fatorando 6 no denominador, temos
\frac{2}{6 + h} = \frac{2}{6}\,\frac{1}{1 + \tfrac{h}{6}} = \frac{1}{3}\,\frac{1}{1 + \tfrac{h}{6}}.

Passo 4

Lembrando a série geométrica
\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n,\quad |u|<1,
colocamos
u = \frac{h}{6} = \frac{x-1}{6} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{1}{1+\tfrac{x-1}{6}} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x-1}{6}\Bigr)^n, \quad \bigl|\tfrac{x-1}{6}\bigr|<1.

Passo 5

Multiplicando por \tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{2}{5+x} = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x-1}{6}\Bigr)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3\cdot6^n}(x-1)^n, \quad |x-1|<6.

Resposta

\frac{2}{5+x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3\cdot6^n}(x-1)^n, \quad |x-1|<6.

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