Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=2 x-5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Estabelecer o domínio de f.
  • Construir (desenhar/descrever) o gráfico de f.
A única informação fornecida é a fórmula da função:
f(x)=2x-5.
Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Entender o que pode restringir o domínio. Em geral, operações que podem impedir que um número real seja colocado em x são:
  • divisão por zero (ex.: \dfrac{1}{x}),
  • raízes pares de números negativos (ex.: \sqrt{x} com x<0),
  • logaritmos de números não positivos (ex.: \ln(x) com x\le 0),
    entre outras operações especiais.
Na função dada f(x)=2x-5 aparecem só multiplicação por 2 e subtração de 5. Essas operações estão definidas para qualquer número real x. Portanto não há restrições.
Concluímos que o domínio é o conjunto de todos os números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).

Passo 3

Interpretar os parâmetros da função para ajudar a desenhar o gráfico. A função está na forma f(x)=mx+b, onde:
  • m é a inclinação (coeficiente angular), ou seja, quanto f(x) varia quando x aumenta uma unidade.
  • b é o coeficiente linear (intercepto em y), ou seja, o valor de f em x=0.
Para f(x)=2x-5 temos:
m=2,\qquad b=-5.
Isso significa que a reta tem inclinação 2 (sobe 2 unidades em y quando x aumenta 1) e corta o eixo y no ponto (0,-5).

Passo 4

Encontrar pontos-chave para traçar a reta. Primeiro o intercepto em y:
f(0)=2\cdot0-5=-5,
logo o ponto (0,-5).
Encontrar o intercepto em x (onde f(x)=0):
2x-5=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{2}.
Portanto o ponto \left(\frac{5}{2},0\right) está sobre a reta.
Escolher mais alguns pontos para confirmar a reta (fazendo uma pequena tabela):
\begin{aligned} x=-1 &\Rightarrow f(-1)=2(-1)-5=-2-5=-7,\\\ x=0 &\Rightarrow f(0)=-5,\\\ x=1 &\Rightarrow f(1)=2\cdot1-5=2-5=-3,\\\ x=2 &\Rightarrow f(2)=2\cdot2-5=4-5=-1. \end{aligned}
Então os pontos (-1,-7), (0,-5), (1,-3), (2,-1) e \left(\tfrac{5}{2},0\right) pertencem à reta.

Passo 5

Usar a inclinação para construir a reta rapidamente no papel (ou no quadro). A inclinação m=2 significa que, partindo de qualquer ponto da reta, ao mover-se uma unidade para a direita no eixo x o valor de y aumenta 2. Exemplo prático: do ponto (0,-5) para a direita 1 unidade chega-se em (1,-3) (confere com a tabela).
Para desenhar o gráfico:
  • colocar uma marca em (0,-5),
  • colocar uma marca em \left(\tfrac{5}{2},0\right) (ou em (1,-3) e em (2,-1)),
  • traçar a reta que passa por esses pontos em ambos os sentidos (reta infinita).
Observações visuais/econômicas:
  • A reta é crescente (porque m>0).
  • A função é definida para todo x e assume todo valor real y (ou seja, a imagem é \mathbb{R}).

Passo 6

Resumo prático para a prova (truque rápido): ao ver f(x)=ax+b,
  • domínio normalmente é \mathbb{R} salvo se houver divisão por expressão com x, raiz par, log, etc.;
  • ponto inicial para desenhar é (0,b);
  • inclinação a indica quanto sobe/desce ao ir 1 para a direita;
  • um segundo ponto fácil é \left(1,a+b\right) (aqui (1,-3) porque 2+(-5)=-3);
  • ligar os pontos com uma reta.

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right)\n
Gráfico: reta de equação y=2x-5 que passa por (0,-5), (1,-3), (2,-1) e \left(\tfrac{5}{2},0\right); inclinação m=2 (reta crescente).

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