Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
dada por
As perguntas são:
- Estabelecer o domínio de
. - Construir (descrever como é) o gráfico de
.
Informações dadas: a fórmula explícita
para valores de
onde a expressão faz sentido.
Passo 2
Determinar o domínio — regra básica usada: uma função racional
está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Logo devemos excluir os
tais que
Solução:
é a única raiz de
. Portanto o domínio é
Passo 3
Observação de simetria — porque isso facilita o desenho:
a função depende de . Verifiquemos a paridade:
a função depende de
Como
para todo
do domínio,
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
). No gráfico isso significa que basta desenhar a rama para
e refletir em
.
Passo 4
Comportamento próximo a pontos importantes — limites e assíntotas:
- Quando
ou , tem-se , então
Isto indica uma assíntota vertical em
.
- Quando
ou , tem-se , então
Isto indica uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Sinal e monotonia — calcular a derivada e interpretar passo a passo.
Escrevendo . Pela regra do expoente (regra de potências):
Escrevendo
Análise do sinal de
:
- Para
: então . Logo é estritamente decrescente em . - Para
: então . Logo é estritamente crescente em .
Não há pontos críticos onde
(o numerador
não é zero), portanto não há máximos ou mínimos locais no domínio.
Passo 6
Concavidade — segunda derivada para saber a forma da curva:
A partir de ,
A partir de
Como
para todo
, temos
em todo o domínio. Portanto a curva é côncava para cima (convexa) tanto em
quanto em
.
Passo 7
Intervalo de valores (imagem) — raciocínio:
Para todo tem-se
então
. Conforme
o valor tende a
sem atingir; conforme
tende a
. Assim a imagem (conjunto de valores possíveis) é
Para todo
Observação: zero não é atingido, e não há máximo finito.
Passo 8
Pontos de referência para desenhar o gráfico — calcular alguns valores fáceis para guiar o esboço:
Esses pontos mostram como a rama em
desce rápido perto de
(valores grandes) e aproxima-se de
para
grandes; a rama em
é o espelho desses pontos.
Passo 9
Como construir o esboço do gráfico passo a passo (o que desenhar na prova):
- Trace os eixos
e . Marque a assíntota vertical (eixo ) e a assíntota horizontal (eixo ); note que o gráfico nunca cruza nem . - Desenhe a rama em
: comece muito alta perto de , passe por , por , por , por e vá se aproximando de quando cresce. - Reflita essa rama em relação ao eixo
para obter a rama em (mesma forma à esquerda). - As curvas são contínuas em cada ramo, estritamente decrescentes para
e estritamente crescentes para , e são côncavas para cima em ambos os ramos.
Dica de desenho: faça as duas ramificações bem próximas do eixo
subindo muito para +∞, e nas extremidades aproximando-se do eixo
sem tocá-lo.
Passo 10
Resumo final rápido (vocês vão gostar de lembrar isso na prova): domínio
; assíntotas
e
; função par; imagem
; monotonia: cresce em
e decresce em
; côncava para cima.
Resposta
Domínio:
Gráfico: duas ramificações simétricas (função par) em e
, com assíntota vertical
, assíntota horizontal
, imagem
; crescente em
, decrescente em
e sempre côncava para cima.
Gráfico: duas ramificações simétricas (função par) em