Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
h(x)=\frac{12}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função h dada por
h(x)=\frac{12}{x^{2}}.
As perguntas são:
  • Estabelecer o domínio de h.
  • Construir (descrever como é) o gráfico de h.
Informações dadas: a fórmula explícita \;h(x)=\dfrac{12}{x^{2}}\; para valores de x onde a expressão faz sentido.

Passo 2

Determinar o domínio — regra básica usada: uma função racional \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é x^{2}. Logo devemos excluir os x tais que
x^{2}=0.
Solução: x=0 é a única raiz de x^{2}=0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

Observação de simetria — porque isso facilita o desenho:
a função depende de x^{2}. Verifiquemos a paridade:
h(-x)=\frac{12}{(-x)^{2}}=\frac{12}{x^{2}}=h(x).
Como h(-x)=h(x) para todo x do domínio, h é uma função par (simétrica em relação ao eixo y). No gráfico isso significa que basta desenhar a rama para x>0 e refletir em y.

Passo 4

Comportamento próximo a pontos importantes — limites e assíntotas:
  • Quando x\to 0^{+} ou x\to 0^{-}, tem-se x^{2}\to 0^{+}, então
h(x)=\frac{12}{x^{2}}\to +\infty.
Isto indica uma assíntota vertical em x=0.
  • Quando x\to +\infty ou x\to -\infty, tem-se x^{2}\to +\infty, então
h(x)=\frac{12}{x^{2}}\to 0^{+}.
Isto indica uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Sinal e monotonia — calcular a derivada e interpretar passo a passo.
Escrevendo h(x)=12x^{-2}. Pela regra do expoente (regra de potências):
h'(x)=12\cdot(-2)x^{-3}=-24x^{-3}=-\frac{24}{x^{3}}.
Análise do sinal de h'(x):
  • Para x>0: x^{3}>0 então h'(x)=-\dfrac{24}{x^{3}}<0. Logo h é estritamente decrescente em (0,\infty).
  • Para x<0: x^{3}<0 então h'(x)=-\dfrac{24}{x^{3}}>0. Logo h é estritamente crescente em (-\infty,0).
Não há pontos críticos onde h'(x)=0 (o numerador -24 não é zero), portanto não há máximos ou mínimos locais no domínio.

Passo 6

Concavidade — segunda derivada para saber a forma da curva:
A partir de h'(x)=-24x^{-3},
h''(x)=-24\cdot(-3)x^{-4}=72x^{-4}=\frac{72}{x^{4}}.
Como x^{4}>0 para todo x\neq0, temos h''(x)>0 em todo o domínio. Portanto a curva é côncava para cima (convexa) tanto em (-\infty,0) quanto em (0,\infty).

Passo 7

Intervalo de valores (imagem) — raciocínio:
Para todo x\neq0 tem-se x^{2}>0 então h(x)=\dfrac{12}{x^{2}}>0. Conforme x\to\infty o valor tende a 0 sem atingir; conforme x\to0 tende a +\infty. Assim a imagem (conjunto de valores possíveis) é
(0,\infty).
Observação: zero não é atingido, e não há máximo finito.

Passo 8

Pontos de referência para desenhar o gráfico — calcular alguns valores fáceis para guiar o esboço:
h(1)=\frac{12}{1^{2}}=12,\quad h(2)=\frac{12}{4}=3,\quad h(3)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\approx 1,333\ldots,
h\!\bigl(\sqrt{12}\bigr)=\frac{12}{(\sqrt{12})^{2}}=\frac{12}{12}=1,\quad h\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{12}{(1/2)^{2}}=\frac{12}{1/4}=48.
Esses pontos mostram como a rama em x>0 desce rápido perto de 0 (valores grandes) e aproxima-se de 0 para x grandes; a rama em x<0 é o espelho desses pontos.

Passo 9

Como construir o esboço do gráfico passo a passo (o que desenhar na prova):
  1. Trace os eixos x e y. Marque a assíntota vertical x=0 (eixo y) e a assíntota horizontal y=0 (eixo x); note que o gráfico nunca cruza x=0 nem y=0.
  2. Desenhe a rama em x>0: comece muito alta perto de x=0^{+}, passe por (\tfrac{1}{2},48), por (1,12), por (2,3), por (\sqrt{12},1) e vá se aproximando de y=0 quando x cresce.
  3. Reflita essa rama em relação ao eixo y para obter a rama em x<0 (mesma forma à esquerda).
  4. As curvas são contínuas em cada ramo, estritamente decrescentes para x>0 e estritamente crescentes para x<0, e são côncavas para cima em ambos os ramos.
Dica de desenho: faça as duas ramificações bem próximas do eixo y subindo muito para +∞, e nas extremidades aproximando-se do eixo x sem tocá-lo.

Passo 10

Resumo final rápido (vocês vão gostar de lembrar isso na prova): domínio (-\infty,0)\cup(0,\infty); assíntotas x=0 e y=0; função par; imagem (0,\infty); monotonia: cresce em (-\infty,0) e decresce em (0,\infty); côncava para cima.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Gráfico: duas ramificações simétricas (função par) em (-\infty,0) e (0,\infty), com assíntota vertical x=0, assíntota horizontal y=0, imagem (0,\infty); crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty) e sempre côncava para cima.

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