Determine o domínio das funções reais abaixo:
j(x)=\frac{\sqrt{4 x-14}}{\sqrt[20]{-2 x+20}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
j(x)=\frac{\sqrt{4x-14}}{\sqrt[20]{-2x+20}}.
Informações dadas e o que devemos considerar:
  • O numerador é uma raiz quadrada principal \sqrt{4x-14}.
  • O denominador é uma raiz de índice 20 (par) \sqrt[20]{-2x+20}.
  • Para a função estar bem definida, o numerador e o denominador devem ser números reais, e o denominador não pode ser zero.
  • Objetivo: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essas condições.

Passo 2

Condição do numerador: para \sqrt{4x-14} ser real é necessário que o radicando seja não negativo:
4x-14 \ge 0.
Resolvendo a desigualdade:
4x \ge 14
x \ge \frac{14}{4}=\frac{7}{2}.
Explicação didática: ao dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número positivo (aqui 4) o sentido da desigualdade não muda. Logo todos os x com x\ge\frac{7}{2} tornam o numerador real.

Passo 3

Condição do denominador: o índice da raiz é 20, que é par. Para \sqrt[20]{-2x+20} ser real precisamos de
-2x+20 \ge 0.
Além disso, como esse valor aparece no denominador, não podemos ter \sqrt[20]{-2x+20}=0. Portanto exigimos
-2x+20 > 0.
Agora resolver a desigualdade:
-2x > -20.
Ao dividir por -2 (número negativo) o sentido da desigualdade inverte-se:
x < 10.
Explicação didática: sempre que dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número negativo, é obrigatório inverter o sinal da desigualdade.

Passo 4

Interseção das condições: precisamos dos x que simultaneamente satisfazem
x \ge \frac{7}{2} \qquad\text{e}\qquad x < 10.
A interseção dessas restrições é o conjunto de x tais que
\frac{7}{2} \le x < 10.
Verificação dos extremos:
  • Em x=\frac{7}{2} o numerador vale \sqrt{4\cdot\frac{7}{2}-14}=\sqrt{0}=0 (permitido) e o denominador vale \sqrt[20]{-2\cdot\frac{7}{2}+20}=\sqrt[20]{13}>0 (não nulo), logo x=\frac{7}{2} é permitido.
  • Em x=10 o radicando do denominador é -2\cdot 10+20=0, a raiz \sqrt[20]{0}=0 tornaria o denominador zero, então x=10 é proibido.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Para x=4 tem-se \sqrt{16-14}=\sqrt{2} e \sqrt[20]{-8+20}=\sqrt[20]{12} ambos reais e denominador não nulo, logo x=4 está no domínio.
  • Para x=11 o numerador é real, mas o radicando do denominador é -22+20=-2<0, então x=11 não pertence ao domínio.

Resposta

\left[\dfrac{7}{2},\,10\right)

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