Determine o domínio das funções reais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações dadas e o que devemos considerar:
- O numerador é uma raiz quadrada principal
. - O denominador é uma raiz de índice
(par) . - Para a função estar bem definida, o numerador e o denominador devem ser números reais, e o denominador não pode ser zero.
- Objetivo: encontrar todos os
que satisfazem essas condições.
Passo 2
Condição do numerador: para
ser real é necessário que o radicando seja não negativo:
Resolvendo a desigualdade:
Explicação didática: ao dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número positivo (aqui
) o sentido da desigualdade não muda. Logo todos os
com
tornam o numerador real.
Passo 3
Condição do denominador: o índice da raiz é
, que é par. Para
ser real precisamos de
Além disso, como esse valor aparece no denominador, não podemos ter
. Portanto exigimos
Agora resolver a desigualdade:
Ao dividir por
(número negativo) o sentido da desigualdade inverte-se:
Explicação didática: sempre que dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número negativo, é obrigatório inverter o sinal da desigualdade.
Passo 4
Interseção das condições: precisamos dos
que simultaneamente satisfazem
A interseção dessas restrições é o conjunto de
tais que
Verificação dos extremos:
- Em
o numerador vale (permitido) e o denominador vale (não nulo), logo é permitido. - Em
o radicando do denominador é , a raiz tornaria o denominador zero, então é proibido.
Exemplos rápidos para fixar:
- Para
tem-se e ambos reais e denominador não nulo, logo está no domínio. - Para
o numerador é real, mas o radicando do denominador é , então não pertence ao domínio.