Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Estabelecer o domínio de
. - Construir o gráfico de
: isto inclui identificar assíntotas, interceptos, extremos e comportamento (crescente/decrescente, concavidade) para orientar o desenho.
Informação dada: a função está explicitamente definida por
. Não há outras imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Encontrar o domínio. Regra: uma função racional
está definida quando
.
Aqui o denominador é
. Impor
dá
Portanto o domínio é
Passo 3
Procurar assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera (salvo cancelamento). Como
não cancela com o numerador
,
é uma assíntota vertical.
Calcular os limites perto de
para ver o comportamento lateral:
Conclusão: à esquerda de
a função vai para
, à direita vai para
.
Passo 4
Procurar assíntota oblíqua (polinomial) usando divisão de polinômios, porque grau do numerador (2) é maior que do denominador (1). Fazer a divisão de
por
.
Dividindo:
Verificação rápida dos passos da divisão:
; subtraindo obtém-se
;
; subtraindo resto
. Assim o resto sobre o divisor é
.
Da expressão acima, a assíntota oblíqua (reta quociente) é
porque
quando
. Logo
Passo 5
Interceptos com os eixos:
- Intercepto em
(tomar ):
logo ponto
.
- Intercepto(s) em
(resolver ):
Logo o único intercepto é
(raiz dupla do numerador).
Passo 6
Estudar monotonicidade — derivada primeira. Usar a regra do quociente: se
e
, então
e
. Assim
Simplificando o numerador:
Portanto
Zeramos o numerador para pontos críticos:
dá
e
. Derivada indefinida em
(fora do domínio).
Fazer tabela de sinais da derivada (observe que
para todo
, logo o sinal de
é o sinal de
):
- Para
: e ⇒ produto ⇒ (crescente). - Para
: e ⇒ produto ⇒ (decrescente). - Para
: idem ao intervalo anterior ⇒ (decrescente). - Para
: e ⇒ produto ⇒ (crescente).
Classificação dos extremos:
- Em
: muda de (à esquerda) para (à direita) ⇒ máximo local em . Valor , portanto máximo local em . - Em
: muda de para ⇒ mínimo local em . Valor , então mínimo local em .
Passo 7
Concavidade — derivada segunda. Partimos de
. Aplicando produto/chain rule (ou derivando a forma quociente de novo), obtém-se, após simplificação,
Explicação do sinal: o denominador ao cubo tem mesmo sinal de
. Assim
- Se
então ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Se
então ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para cima.
Observação:
não pertence ao domínio, então não há ponto de inflexão em
(a concavidade muda de sinal atravessando uma descontinuidade).
Passo 8
Resumo dos pontos e comportamentos importantes para desenhar o gráfico (valores numéricos a serem marcados):
- Domínio:
. - Assíntota vertical:
com comportamento e . - Assíntota oblíqua:
. - Intercepto: único intercepto em
. - Extremos locais: máximo em
; mínimo em . - Monotonicidade: crescente em
e em ; decrescente em e em . - Concavidade: côncavo para baixo em
; côncavo para cima em . - Comportamento para
: aproxima a reta (a diferença tende a zero).
Passo 9
Como construir o gráfico na prática (passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhar e marcar a assíntota vertical
como uma linha tracejada. - Desenhar a assíntota oblíqua
(reta) também tracejada. - Marcar o ponto
e o ponto . - No lado esquerdo (
): a função é crescente até (atinge ), depois decresce para quando se aproxima de . Traçar a curva começando próxima à assíntota oblíqua para , aproximando-se dela, passando por , e caindo para em . A concavidade é para baixo nesse intervalo. - No lado direito (
): a função vem de em , decresce até o mínimo , depois cresce e tende à reta oblíqua quando . A concavidade é para cima nesse intervalo. - Conferir que a curva nunca cruza a assíntota oblíqua (a diferença é
, que nunca é zero), e que o comportamento lateral de é conforme os limites calculados.
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical ; oblíqua
Intercepto:
Extremos: máximo local em ; mínimo local em
Monotonicidade: crescente em e
; decrescente em
e
Concavidade: côncavo para baixo em ; côncavo para cima em
Assíntotas: vertical
Intercepto:
Extremos: máximo local em
Monotonicidade: crescente em
Concavidade: côncavo para baixo em