Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
l(x)=\frac{x^{2}}{2 x-6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função l(x)=\dfrac{x^{2}}{2x-6}:
  • Estabelecer o domínio de l.
  • Construir o gráfico de l: isto inclui identificar assíntotas, interceptos, extremos e comportamento (crescente/decrescente, concavidade) para orientar o desenho.
Informação dada: a função está explicitamente definida por l(x)=\dfrac{x^{2}}{2x-6}. Não há outras imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Encontrar o domínio. Regra: uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} está definida quando q(x)\neq0.
Aqui o denominador é 2x-6. Impor 2x-6\neq0
2x-6\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq3.
Portanto o domínio é
(-\infty,3)\cup(3,\infty).

Passo 3

Procurar assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera (salvo cancelamento). Como 2x-6=2(x-3) não cancela com o numerador x^2, x=3 é uma assíntota vertical.
Calcular os limites perto de x=3 para ver o comportamento lateral:
\lim_{x\to3^-}\dfrac{x^{2}}{2x-6}=\dfrac{9}{0^-}=-\infty, \qquad \lim_{x\to3^+}\dfrac{x^{2}}{2x-6}=\dfrac{9}{0^+}=+\infty.
Conclusão: à esquerda de 3 a função vai para -\infty, à direita vai para +\infty.

Passo 4

Procurar assíntota oblíqua (polinomial) usando divisão de polinômios, porque grau do numerador (2) é maior que do denominador (1). Fazer a divisão de x^{2} por 2x-6.
Dividindo:
\frac{x^{2}}{2x-6}=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+\frac{9}{2x-6}.
Verificação rápida dos passos da divisão: \frac{1}{2}x(2x-6)=x^{2}-3x; subtraindo obtém-se 3x; \frac{3}{2}(2x-6)=3x-9; subtraindo resto 9. Assim o resto sobre o divisor é \dfrac{9}{2x-6}.
Da expressão acima, a assíntota oblíqua (reta quociente) é
y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2},
porque \dfrac{9}{2x-6}\to0 quando x\to\pm\infty. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^{2}}{2x-6}-\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)\right)=0.

Passo 5

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto em y (tomar x=0):
l(0)=\frac{0^{2}}{2\cdot0-6}=0,
logo ponto (0,0).
  • Intercepto(s) em x (resolver l(x)=0):
\frac{x^{2}}{2x-6}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Logo o único intercepto é (0,0) (raiz dupla do numerador).

Passo 6

Estudar monotonicidade — derivada primeira. Usar a regra do quociente: se u=x^{2} e v=2x-6, então u'=2x e v'=2. Assim
l'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{2x(2x-6)-x^{2}\cdot2}{(2x-6)^{2}}.
Simplificando o numerador:
2x(2x-6)-2x^{2}=4x^{2}-12x-2x^{2}=2x^{2}-12x=2x(x-6).
Portanto
l'(x)=\frac{2x(x-6)}{(2x-6)^{2}}.
Zeramos o numerador para pontos críticos: 2x(x-6)=0 x=0 e x=6. Derivada indefinida em x=3 (fora do domínio).
Fazer tabela de sinais da derivada (observe que (2x-6)^{2}>0 para todo x\neq3, logo o sinal de l'(x) é o sinal de 2x(x-6)):
  • Para x<0: x<0 e x-6<0 ⇒ produto >0 l'(x)>0 (crescente).
  • Para 0<x<3: x>0 e x-6<0 ⇒ produto <0 l'(x)<0 (decrescente).
  • Para 3<x<6: idem ao intervalo anterior ⇒ l'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>6: x>0 e x-6>0 ⇒ produto >0 l'(x)>0 (crescente).
Classificação dos extremos:
  • Em x=0: l' muda de + (à esquerda) para - (à direita) ⇒ máximo local em x=0. Valor l(0)=0, portanto máximo local em (0,0).
  • Em x=6: l' muda de - para + ⇒ mínimo local em x=6. Valor l(6)=\dfrac{6^{2}}{2\cdot6-6}=\dfrac{36}{6}=6, então mínimo local em (6,6).

Passo 7

Concavidade — derivada segunda. Partimos de l'(x)=2x(x-6)(2x-6)^{-2}. Aplicando produto/chain rule (ou derivando a forma quociente de novo), obtém-se, após simplificação,
l''(x)=\frac{72}{(2x-6)^{3}}.
Explicação do sinal: o denominador ao cubo tem mesmo sinal de 2x-6. Assim
  • Se x<3 então 2x-6<0 (2x-6)^{3}<0 l''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Se x>3 então 2x-6>0 (2x-6)^{3}>0 l''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Observação: x=3 não pertence ao domínio, então não há ponto de inflexão em x=3 (a concavidade muda de sinal atravessando uma descontinuidade).

Passo 8

Resumo dos pontos e comportamentos importantes para desenhar o gráfico (valores numéricos a serem marcados):
  • Domínio: (-\infty,3)\cup(3,\infty).
  • Assíntota vertical: x=3 com comportamento \lim_{x\to3^-}l(x)=-\infty e \lim_{x\to3^+}l(x)=+\infty.
  • Assíntota oblíqua: y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.
  • Intercepto: único intercepto em (0,0).
  • Extremos locais: máximo em (0,0); mínimo em (6,6).
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,0) e em (6,\infty); decrescente em (0,3) e em (3,6).
  • Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,3); côncavo para cima em (3,\infty).
  • Comportamento para x\to\pm\infty: aproxima a reta y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} (a diferença tende a zero).

Passo 9

Como construir o gráfico na prática (passo a passo para desenhar à mão):
  1. Desenhar e marcar a assíntota vertical x=3 como uma linha tracejada.
  2. Desenhar a assíntota oblíqua y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} (reta) também tracejada.
  3. Marcar o ponto (0,0) e o ponto (6,6).
  4. No lado esquerdo ( x<3): a função é crescente até x=0 (atinge 0), depois decresce para -\infty quando se aproxima de x=3^-. Traçar a curva começando próxima à assíntota oblíqua para x\to-\infty, aproximando-se dela, passando por (0,0), e caindo para -\infty em x\to3^-. A concavidade é para baixo nesse intervalo.
  5. No lado direito ( x>3): a função vem de +\infty em x\to3^+, decresce até o mínimo (6,6), depois cresce e tende à reta oblíqua quando x\to+\infty. A concavidade é para cima nesse intervalo.
  6. Conferir que a curva nunca cruza a assíntota oblíqua (a diferença é \dfrac{9}{2x-6}, que nunca é zero), e que o comportamento lateral de x=3 é conforme os limites calculados.

Resposta

Domínio: (-\infty,3)\cup(3,\infty)
Assíntotas: vertical x=3; oblíqua y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
Intercepto: (0,0)
Extremos: máximo local em (0,0); mínimo local em (6,6)
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0) e (6,\infty); decrescente em (0,3) e (3,6)
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,3); côncavo para cima em (3,\infty)

Exercícios relacionados