Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
h(x)=x^{2}-3 x-4

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas:
  • Estabelecer o domínio da função h(x)=x^{2}-3x-4.
  • Construir (esboçar) o gráfico dessa função.
Informações fornecidas:
  • A função é dada por h(x)=x^{2}-3x-4. Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido. Polinômios (como esse) são definidos para qualquer número real: não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo nem logaritmo.
Portanto o domínio é
\mathbb{R}.

Passo 3

Encontrar as interceptações com os eixos (pontos importantes para o gráfico).
Para os zeros (interseções com o eixo x) solve-se a equação
x^{2}-3x-4=0.
Explicando métodos: pode-se fatorar ou usar a fórmula quadrática. Aqui fattorização é direta: procurar dois números cujo produto seja -4 e soma seja -3. Esses números são -4 e 1. Assim:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Logo os zeros são x=4 e x=-1. Os pontos de interseção com o eixo x são
(-1,0)\quad\text{e}\quad(4,0).
Para a interseção com o eixo y (colocar x=0):
h(0)=0^{2}-3\cdot0-4=-4,
portanto o ponto é
(0,-4).

Passo 4

Encontrar o vértice (ponto extremo) e a forma vértice da parábola por completar o quadrado.
Motivação: a parábola tem um único mínimo ou máximo; escrever na forma vértice (x-h)^2+k mostra diretamente o vértice. Começando com
h(x)=x^{2}-3x-4,
completa-se o quadrado no lado quadrático:
h(x)=\left(x^{2}-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4.
Calculemos os termos constantes:
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},\qquad -\frac{9}{4}-4=-\frac{9}{4}-\frac{16}{4}=-\frac{25}{4}.
Assim obtemos a forma vértice:
h(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}.
Dessa forma, o vértice é
\left(\frac{3}{2},-\frac{25}{4}\right).

Passo 5

Determinar a concavidade (abertura) e o conjunto imagem (range).
Observação: o coeficiente de x^{2} é a=1>0. Explicação didática: se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo). Aqui abre para cima, logo o vértice é um mínimo global. O valor mínimo de h é a coordenada y do vértice, -\dfrac{25}{4}. Portanto a imagem (range) é
\left[-\frac{25}{4},\infty\right).

Passo 6

Eixo de simetria e monotonicidade (útil para desenhar):
  • O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
x=\frac{3}{2}.
  • Para entender onde a função decresce ou cresce pode-se derivar: h'(x)=2x-3. Explicação: a derivada indica a taxa de variação; quando h'(x)<0 a função decresce, quando h'(x)>0 a função cresce. Resolvendo h'(x)=0 x=\dfrac{3}{2}, que é exatamente a abscissa do vértice. Assim:
\text{decresce em }\left(-\infty,\frac{3}{2}\right),\qquad \text{cresce em }\left(\frac{3}{2},\infty\right).

Passo 7

Escolher pontos e esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova).
  1. Marcar os pontos que já achamos: (-1,0), (0,-4), \left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4}\right), (4,0).
  2. Usar simetria em relação ao eixo x=\dfrac{3}{2}: o ponto (0,-4) tem simétrico x tal que a distância até o eixo é igual. A distância de 0 a \dfrac{3}{2} é \dfrac{3}{2}, então o ponto simétrico tem x=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3. Logo outro ponto útil é (3,-4).
  3. Traçar uma curva suave que passe por esses pontos, com mínimo em \left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{25}{4}\right) e que abra para cima. Não se curva bruscamente: entre os pontos a parábola é lisa e simétrica.
Dica rápida para a prova: desenhe primeiro o vértice e os interceptos; conecte com uma curva simétrica e suave respeitando a abertura (para cima). Marcar mais um ou dois pontos (por ex. (3,-4)) ajuda a fixar a forma.

Passo 8

Resumo dos cálculos principais (para consultar rápido durante a prova):
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1),
\text{vértice: }\left(\frac{3}{2},-\frac{25}{4}\right),\qquad \text{forma vértice: }h(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4},éé
\text{eixo: }x=\frac{3}{2},\qquad \text{domínio: }\mathbb{R},\qquad \text{imagem: }\left[-\frac{25}{4},\infty\right).í

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (range): \left[-\tfrac{25}{4},\infty\right)
Vértice: \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{25}{4}\right)
Eixo de simetria: x=\tfrac{3}{2}
Interceptos com o eixo x: (-1,0) e (4,0)
Intercepto com o eixo y: (0,-4)
Abertura: para cima (porque a=1>0)
Monotonicidade: decresce em \left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right), cresce em \left(\tfrac{3}{2},\infty\right)

Exercícios relacionados