Estabelecer o domínio e construir o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas:
- Estabelecer o domínio da função
. - Construir (esboçar) o gráfico dessa função.
Informações fornecidas:
- A função é dada por
. Não há outras restrições ou dados adicionais.
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação didática: o domínio de uma função são todos os valores de para os quais a expressão que define a função faz sentido. Polinômios (como esse) são definidos para qualquer número real: não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo nem logaritmo.
Portanto o domínio é
Explicação didática: o domínio de uma função são todos os valores de
Portanto o domínio é
Passo 3
Encontrar as interceptações com os eixos (pontos importantes para o gráfico).
Para os zeros (interseções com o eixo ) solve-se a equação
Para os zeros (interseções com o eixo
Explicando métodos: pode-se fatorar ou usar a fórmula quadrática. Aqui fattorização é direta: procurar dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Assim:
Logo os zeros são
e
. Os pontos de interseção com o eixo
são
Para a interseção com o eixo
(colocar
):
portanto o ponto é
Passo 4
Encontrar o vértice (ponto extremo) e a forma vértice da parábola por completar o quadrado.
Motivação: a parábola tem um único mínimo ou máximo; escrever na forma vértice mostra diretamente o vértice. Começando com
Motivação: a parábola tem um único mínimo ou máximo; escrever na forma vértice
completa-se o quadrado no lado quadrático:
Calculemos os termos constantes:
Assim obtemos a forma vértice:
Dessa forma, o vértice é
Passo 5
Determinar a concavidade (abertura) e o conjunto imagem (range).
Observação: o coeficiente de é
. Explicação didática: se
a parábola abre para cima (tem mínimo); se
abre para baixo (tem máximo). Aqui abre para cima, logo o vértice é um mínimo global. O valor mínimo de
é a coordenada
do vértice,
. Portanto a imagem (range) é
Observação: o coeficiente de
Passo 6
Eixo de simetria e monotonicidade (útil para desenhar):
- O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
- Para entender onde a função decresce ou cresce pode-se derivar:
. Explicação: a derivada indica a taxa de variação; quando a função decresce, quando a função cresce. Resolvendo dá , que é exatamente a abscissa do vértice. Assim:
Passo 7
Escolher pontos e esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova).
- Marcar os pontos que já achamos:
, , , . - Usar simetria em relação ao eixo
: o ponto tem simétrico tal que a distância até o eixo é igual. A distância de a é , então o ponto simétrico tem . Logo outro ponto útil é . - Traçar uma curva suave que passe por esses pontos, com mínimo em
e que abra para cima. Não se curva bruscamente: entre os pontos a parábola é lisa e simétrica.
Dica rápida para a prova: desenhe primeiro o vértice e os interceptos; conecte com uma curva simétrica e suave respeitando a abertura (para cima). Marcar mais um ou dois pontos (por ex.
) ajuda a fixar a forma.
Passo 8
Resumo dos cálculos principais (para consultar rápido durante a prova):
Resposta
Domínio:
Imagem (range):
Vértice:
Eixo de simetria:
Interceptos com o eixo :
e
Intercepto com o eixo :
Abertura: para cima (porque )
Monotonicidade: decresce em , cresce em
Imagem (range):
Vértice:
Eixo de simetria:
Interceptos com o eixo
Intercepto com o eixo
Abertura: para cima (porque
Monotonicidade: decresce em