onde
é o disco unitário.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a integral dupla
onde
é o disco unitário.
- Informação importante: o disco unitário
é o conjunto dos pontos tais que . Ou seja, centro na origem e raio .
Passo 2
Ideia rápida por simetria (intuição antes de calcular): porque o disco é simétrico em relação ao eixo
(ou seja, se
então
), podemos testar o efeito dessa simetria sobre a função
. Ao trocar
por
obtemos
. Isso sugere que contribuições de pontos simétricos cancelam-se e a integral pode ser zero. Abaixo faremos isso de forma rigorosa e também mostrarei o cálculo em coordenadas polares como verificação.
Passo 3
Argumento de substituição (rigoroso) usando a simetria
.
- Denote por
a integral desejada:
- Faça a mudança de variáveis
. Essa transformação envia o disco em si (porque ), e o elemento de área satisfaz (o valor absoluto do determinante Jacobiano é ). Além disso . Portanto, escrevendo a mesma integral em :
- Como as letras
são só nomes, o último integral é exatamente . Assim obtemos
- A equação
implica , logo .
Esse argumento é curto e excelente para a prova: pela simetria do domínio e a propriedade de alteração de sinal de
ao trocar
por
, a integral se cancela.
Passo 4
Verificação alternativa por coordenadas polares (útil aprender para outras integrais).
- Lembrando a mudança para coordenadas polares:
onde
é a distância à origem e
é o ângulo. O elemento de área na mudança de variáveis é
Breve explicação do Jacobiano: a matriz das derivadas parciais é
o determinante dessa matriz é
. Por isso
.]
Passo 5
Expressar o integrando em polares e montar a integral.
- Em polares temos
- Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos o integrando em :
- No disco unitário os parâmetros variam por
- Assim
Passo 6
Avaliar a integral por separação de variáveis.
- Use a identidade trigonométrica
. Então
- A integral separa-se em parte radial e parte angular:
- Calcule cada parte:
porque
tem período
e integra-se a zero em qualquer intervalo de comprimento inteiro de
; em particular sobre
.
- Portanto
.
Passo 7
Resumo e encorajamento final.
- Dois caminhos (simetria com substituição e coordenadas polares) dão o mesmo resultado: a integral é zero.
- Dica para prova: quando o domínio é simétrico e a função muda de sinal sob alguma reflexão simples (por exemplo
ou ), sempre verifique primeiro o argumento de simetria — é rápido e elegante. Use coordenadas polares quando o domínio for circular e o integrando tiver fatores em facilmente convertidos em .
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