\iint_{R} x y d A
onde R é o disco unitário.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{R} x y \, dA,
onde R é o disco unitário.
  • Informação importante: o disco unitário R é o conjunto dos pontos (x,y) tais que \,x^{2}+y^{2}\le 1\,. Ou seja, centro na origem e raio 1.

Passo 2

Ideia rápida por simetria (intuição antes de calcular): porque o disco é simétrico em relação ao eixo y (ou seja, se (x,y)\in R então (-x,y)\in R), podemos testar o efeito dessa simetria sobre a função f(x,y)=x y. Ao trocar x por -x obtemos f(-x,y) = (-x) y = -x y = -f(x,y). Isso sugere que contribuições de pontos simétricos cancelam-se e a integral pode ser zero. Abaixo faremos isso de forma rigorosa e também mostrarei o cálculo em coordenadas polares como verificação.

Passo 3

Argumento de substituição (rigoroso) usando a simetria (x,y)\mapsto(-x,y).
  • Denote por I a integral desejada:
I=\iint_{R} x y \, dA.
  • Faça a mudança de variáveis u=-x,\; v=y. Essa transformação envia o disco R em si (porque (-x)^2+y^2=x^2+y^2), e o elemento de área satisfaz dA = du\,dv (o valor absoluto do determinante Jacobiano é 1). Além disso x y = (-u)v = -u v. Portanto, escrevendo a mesma integral em (u,v):
I = \iint_{R} x y \, dA = \iint_{R} (-u)v \, du\,dv = -\iint_{R} u v \, du\,dv.
  • Como as letras u,v são só nomes, o último integral é exatamente I. Assim obtemos
I = -I.
  • A equação I=-I implica 2I=0, logo I=0.
Esse argumento é curto e excelente para a prova: pela simetria do domínio e a propriedade de alteração de sinal de x y ao trocar x por -x, a integral se cancela.

Passo 4

Verificação alternativa por coordenadas polares (útil aprender para outras integrais).
  • Lembrando a mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo. O elemento de área na mudança de variáveis é
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do Jacobiano: a matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
o determinante dessa matriz é r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r. Por isso dA=r\,dr\,d\theta.]

Passo 5

Expressar o integrando em polares e montar a integral.
  • Em polares temos
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta) = r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
x y \, dA = r^{2}\cos\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • No disco unitário os parâmetros variam por
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
  • Assim
I=\iint_{R} x y \, dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Avaliar a integral por separação de variáveis.
  • Use a identidade trigonométrica \,2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta). Então
r^{3}\cos\theta\sin\theta = \frac{r^{3}}{2}\sin(2\theta).
  • A integral separa-se em parte radial e parte angular:
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{2}\sin(2\theta)\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta\right).
  • Calcule cada parte:
\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8},
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = 0
porque \sin(2\theta) tem período \pi e integra-se a zero em qualquer intervalo de comprimento inteiro de \pi; em particular sobre [0,2\pi].
  • Portanto I = \dfrac{1}{8}\cdot 0 = 0.

Passo 7

Resumo e encorajamento final.
  • Dois caminhos (simetria com substituição e coordenadas polares) dão o mesmo resultado: a integral é zero.
  • Dica para prova: quando o domínio é simétrico e a função muda de sinal sob alguma reflexão simples (por exemplo x\mapsto -x ou y\mapsto -y), sempre verifique primeiro o argumento de simetria — é rápido e elegante. Use coordenadas polares quando o domínio for circular e o integrando tiver fatores em x,y facilmente convertidos em r,\theta.

Resposta

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