Estabelecer a expressão do tempo de reação em termos da conversão ( X_{A} ) para as seguintes reações gasosas irreversíveis, considerando que elas são realizadas sob condições isotérmica e isobárica, e assumindo que a mistura reacional se comporta como gás ideal.
\mathrm{A}_{(\mathrm{g})} \rightarrow 2 \mathrm{~B}_{(\mathrm{g})}
\left(-r_{A}\right)=k C_{A} \quad \text { Alimentação: Apenas o reagente } A\left(N_{A O}\right)çã

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Reação: \mathrm{A}_{(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{B}_{(g)}.
  • Lei de velocidade fornecida: \left(-r_{A}\right)=k C_{A} (primeira ordem em A).
  • Condições: isotérmica, isobárica e mistura comportando-se como gás ideal.
  • Alimentação: apenas o reagente A é alimentado, com vazão molar inicial \,N_{A0} (unidade por tempo).
  • Pedido: estabelecer a expressão do tempo de reação (tempo de residência \tau) em termos da conversão \,X_{A} (definida como fração de A reagido).
Informações relevantes que vamos usar (resumidas para não começar a resolver aqui):
  • Definição de conversão: \,X_{A} = \dfrac{N_{A0}-N_{A}}{N_{A0}}.
  • Para gases ideais em PFR isotérmico e isobárico, a vazão volumétrica varía com o número total de mols; é preciso relacionar C_{A} com X_{A}.
  • A equação de balanço molar para um reator pistonado (PFR, equilíbrio estacionário) será usada para conectar taxa de reação e volume / tempo de residência.

Passo 2

Definir as vazões molares em função de X_{A}.
  • Vazão molar de A em qualquer ponto: N_{A} = N_{A0}(1 - X_{A}).
  • Para cada mol de A consumido forma-se 2 mols de B. Portanto a vazão molar de B é: N_{B} = 2\,N_{A0}X_{A}.
  • Vazão molar total: N_{T} = N_{A}+N_{B} = N_{A0}(1 - X_{A}) + 2N_{A0}X_{A} = N_{A0}(1 + X_{A}).
Comentário rápido: a reação aumenta o número total de mols; isso altera a vazão volumétrica sob P e T constantes.

Passo 3

Expressar a concentração \,C_{A} em função de X_{A} usando gás ideal.
  • Para gás ideal em condições isotérmicas e isobáricas, a vazão volumétrica instantânea v (volume por tempo) é proporcional à vazão molar total: v = \dfrac{N_{T} R T}{P}.
  • Concentração de A é \,C_{A} = \dfrac{N_{A}}{v}. Substituindo N_{A} e v: C_{A} = \dfrac{N_{A0}(1 - X_{A})}{\dfrac{N_{T} R T}{P}} = \dfrac{P}{R T}\cdot \dfrac{N_{A0}(1 - X_{A})}{N_{T}}.
  • Como N_{T}=N_{A0}(1+X_{A}), simplifica-se: C_{A} = \dfrac{P}{R T}\cdot \dfrac{1 - X_{A}}{1 + X_{A}}.
  • Observação: a concentração inicial de A (na entrada, X_{A}=0) é \,C_{A0}=\dfrac{P}{R T}. Assim podemos escrever de forma compacta: C_{A} = C_{A0}\cdot \dfrac{1 - X_{A}}{1 + X_{A}}.

Passo 4

Substituir a concentração na lei de velocidade.
  • Lei dada: \left(-r_{A}\right)=k C_{A}.
  • Substituindo C_{A} em função de X_{A}: \left(-r_{A}\right)=k\,C_{A0}\cdot \dfrac{1 - X_{A}}{1 + X_{A}}.

Passo 5

Montar o balanço molar e passar para a variável X_{A}.
  • Para PFR em regime estacionário a equação diferencial é \dfrac{dN_{A}}{dV}=r_{A}. Usando N_{A}=N_{A0}(1 - X_{A}) e dN_{A}=-N_{A0}\,dX_{A} obtemos: dV = \dfrac{dN_{A}}{r_{A}} = \dfrac{-N_{A0}\,dX_{A}}{r_{A}}.
  • O volume total do reator que conduz à conversão X_{A} é V=\displaystyle\int_{0}^{V} dV = \int_{0}^{X_{A}} \dfrac{-N_{A0}\,dX}{r_{A}}.
  • Queremos o tempo de residência \tau de um elemento de fluido que atravessa o reator. A relação entre volume e tempo de residência é \tau = \dfrac{V}{v_{0}}, onde v_{0} é a vazão volumétrica na entrada. Em condições isotérmicas isobáricas com alimentação apenas de A: v_{0}=\dfrac{N_{T0} R T}{P}=\dfrac{N_{A0} R T}{P}.
  • Então \tau = \dfrac{V}{v_{0}} = \dfrac{1}{v_{0}}\int_{0}^{X_{A}} \dfrac{-N_{A0}\,dX}{r_{A}}.
  • Usando v_{0}=\dfrac{N_{A0} R T}{P} obtemos \dfrac{N_{A0}}{v_{0}}=\dfrac{P}{R T}=C_{A0}. Assim: \tau = C_{A0}\int_{0}^{X_{A}} \dfrac{dX}{\left(-r_{A}\right)}.

Passo 6

Substituir \left(-r_{A}\right) e integrar explicitamente.
  • Substituindo \left(-r_{A}\right)=k C_{A0}\dfrac{1 - X}{1 + X} na integral: \tau = C_{A0}\int_{0}^{X_{A}} \dfrac{dX}{k C_{A0}\dfrac{1 - X}{1 + X}} = \dfrac{1}{k}\int_{0}^{X_{A}} \dfrac{1 + X}{1 - X}\,dX.
  • Simplificar a integral. Faço a decomposição algébrica: \dfrac{1 + X}{1 - X} = -1 + \dfrac{2}{1 - X}.
  • Integrando de 0 a X_{A}: \int_{0}^{X_{A}} \dfrac{1 + X}{1 - X}\,dX = \int_{0}^{X_{A}}\left(-1 + \dfrac{2}{1 - X}\right)dX.
  • Calcule as primitivas: \int -1\,dX = -X e \int \dfrac{2}{1 - X}\,dX = -2\ln(1 - X). Então a integral é \left[-X - 2\ln(1 - X)\right]_{0}^{X_{A}} = -X_{A} - 2\ln(1 - X_{A}) .

Passo 7

Escrever a expressão final e comentar seu significado.
  • Substituindo o resultado da integral em \tau obtemos a expressão final do tempo de residência em função da conversão: \tau = \dfrac{1}{k}\Bigl(-X_{A} - 2\ln(1 - X_{A})\Bigr).
  • Observações didáticas rápidas:
    • Para pequenos X_{A} a expansão em série dá \tau \approx \dfrac{1}{k}(X_{A} + X_{A}^{2}+\cdots), ou seja \tau cresce aproximadamente linearmente com X_{A} para conversões pequenas.
    • O termo logarítmico aparece por causa da variação da vazão volumétrica (e portanto da concentração) devido ao aumento do número total de mols gerado pela reação ( A\rightarrow 2B).

Resposta

\tau = \dfrac{1}{k}\Bigl(-X_{A} - 2\ln(1 - X_{A})\Bigr)

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