Estabelecer a expressão do tempo de reação em termos da conversão (
) para as seguintes reações gasosas irreversíveis, considerando que elas são realizadas sob condições isotérmica e isobárica, e assumindo que a mistura reacional se comporta como gás ideal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Reação:
. - Lei de velocidade fornecida:
(primeira ordem em ). - Condições: isotérmica, isobárica e mistura comportando-se como gás ideal.
- Alimentação: apenas o reagente
é alimentado, com vazão molar inicial (unidade por tempo). - Pedido: estabelecer a expressão do tempo de reação (tempo de residência
) em termos da conversão (definida como fração de reagido).
Informações relevantes que vamos usar (resumidas para não começar a resolver aqui):
- Definição de conversão:
. - Para gases ideais em PFR isotérmico e isobárico, a vazão volumétrica varía com o número total de mols; é preciso relacionar
com . - A equação de balanço molar para um reator pistonado (PFR, equilíbrio estacionário) será usada para conectar taxa de reação e volume / tempo de residência.
Passo 2
Definir as vazões molares em função de
.
- Vazão molar de
em qualquer ponto: - Para cada mol de
consumido forma-se mols de . Portanto a vazão molar de é: - Vazão molar total:
Comentário rápido: a reação aumenta o número total de mols; isso altera a vazão volumétrica sob P e T constantes.
Passo 3
Expressar a concentração
em função de
usando gás ideal.
- Para gás ideal em condições isotérmicas e isobáricas, a vazão volumétrica instantânea
(volume por tempo) é proporcional à vazão molar total: - Concentração de
é . Substituindo e : - Como
, simplifica-se: - Observação: a concentração inicial de
(na entrada, ) é . Assim podemos escrever de forma compacta:
Passo 4
Substituir a concentração na lei de velocidade.
- Lei dada:
. - Substituindo
em função de :
Passo 5
Montar o balanço molar e passar para a variável
.
- Para PFR em regime estacionário a equação diferencial é
. Usando e obtemos: - O volume total do reator que conduz à conversão
é . - Queremos o tempo de residência
de um elemento de fluido que atravessa o reator. A relação entre volume e tempo de residência é , onde é a vazão volumétrica na entrada. Em condições isotérmicas isobáricas com alimentação apenas de : - Então
- Usando
obtemos . Assim:
Passo 6
Substituir
e integrar explicitamente.
- Substituindo
na integral: - Simplificar a integral. Faço a decomposição algébrica:
- Integrando de
a : - Calcule as primitivas:
e . Então a integral é
Passo 7
Escrever a expressão final e comentar seu significado.
- Substituindo o resultado da integral em
obtemos a expressão final do tempo de residência em função da conversão: - Observações didáticas rápidas:
- Para pequenos
a expansão em série dá , ou seja cresce aproximadamente linearmente com para conversões pequenas. - O termo logarítmico aparece por causa da variação da vazão volumétrica (e portanto da concentração) devido ao aumento do número total de mols gerado pela reação (
).
- Para pequenos