Estabelecer a expressão do tempo de reação em termos da conversão (
) para as seguintes reações gasosas irreversíveis, considerando que elas são realizadas sob condições isotérmica e isobárica, e assumindo que a mistura reacional se comporta como gás ideal.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: estabelecer a expressão do tempo de reação
em função da conversão de , . - Reação:
. - Lei de velocidade:
. - Alimentação inicial (dados):
e . - Condições: isotérmica e isobárica, mistura comporta-se como gás ideal.
Decisão sobre o tipo de reator/controle usado aqui:
- Como o enunciado fornece números molares iniciais
e pede em função de sem mencionar fluxo contínuo, a forma padrão é tratar o problema como um reator batelada (batch). Assim vamos obter para batelada sob as condições dadas. (Se fosse PFR ou CSTR, a dedução muda; aqui escolhemos batelada por consistência com .)
Passo 2
Definir variáveis estequiométricas e conversão; escrever
em função de
.
- Definir o avanço da reação
. Para um avanço infinitesimal tem-se as variações: - Definir conversão de
: Da relação obtemos - Agora expressar as quantidades molares de cada espécie em função de
:
Como
(dado), substituindo
:
- Soma das mols totais:
Agrupando e simplificando:
Passo 3
Concentrações a partir do comportamento de gás ideal em condições isotérmicas e isobáricas; escrever
e
em função de
.
- Para gás ideal e
constantes, o volume do batelada é - A concentração de qualquer espécie é
. Usando acima, Assim existe um fator comum e as concentrações dependem apenas das frações molares . - Escrever
e usando as fórmulas do Passo 2:
Passo 4
Relacionar a cinética com a variação temporal da conversão no reator batelada; obter uma equação diferencial para
.
- Em reator batelada, a variação molar de
é dada por Mas também, pela definição de conversão, - A taxa volumétrica de consumo de
(lei dada) é . Relacionando variação molar total com taxa por volume: (Aqui o sinal já cuida do desaparecimento de .) - Igualando as duas expressões para
: - Substituir
e (do Passo 3) e :
primeiro calcular: Então - Substituir
(usando do Passo 2): Simplificando fatores (observe que muitos termos , , se cancelam): - O fator
cancela. - O
e o também se cancelam. - Fica um fator
sobrando. - Simplificação do fator
deixa apenas um no denominador.
Resultado final:
- O fator
Passo 5
Separar variáveis e integrar para obter
em função de
; efetuar a integral passo a passo.
- Escrevendo de forma separável:
É conveniente definir e usar ; aqui prosseguimos diretamente com fatores explícitos. - Avaliar a integral desde
até um valor arbitrário : - Fazer a decomposição algébrica do integrando. Note que, com
, tem-se - Integrar termo a termo:
pois e . - Avaliar a primitiva entre
e : (Porque em temos e .) - Finalmente: