Estabelecer a expressão do tempo de reação em termos da conversão ( X_{A} ) para as seguintes reações gasosas irreversíveis, considerando que elas são realizadas sob condições isotérmica e isobárica, e assumindo que a mistura reacional se comporta como gás ideal.
2 \mathrm{~A}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{B}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{C}_{(\mathrm{g})}
\left(-r_{A}\right)=k C_{A} C_{B} \quad \text { Alimentação: } N_{A O}=2 N_{B O}, N_{C O}=0çã

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: estabelecer a expressão do tempo de reação t em função da conversão de A, \,X_A.
  • Reação: 2\,A_{(g)}+B_{(g)}\rightarrow C_{(g)}.
  • Lei de velocidade: \left(-r_A\right)=k\,C_A\,C_B.
  • Alimentação inicial (dados): N_{A0}=2\,N_{B0} e N_{C0}=0.
  • Condições: isotérmica e isobárica, mistura comporta-se como gás ideal.
Decisão sobre o tipo de reator/controle usado aqui:
  • Como o enunciado fornece números molares iniciais N_{i0} e pede t em função de X_A sem mencionar fluxo contínuo, a forma padrão é tratar o problema como um reator batelada (batch). Assim vamos obter t(X_A) para batelada sob as condições dadas. (Se fosse PFR ou CSTR, a dedução muda; aqui escolhemos batelada por consistência com N_{i0}.)

Passo 2

Definir variáveis estequiométricas e conversão; escrever N_i em função de X_A.
  • Definir o avanço da reação \xi. Para um avanço infinitesimal \mathrm{d}\xi tem-se as variações: \mathrm{d}N_A = -2\,\mathrm{d}\xi,\qquad \mathrm{d}N_B = -1\,\mathrm{d}\xi,\qquad \mathrm{d}N_C = +1\,\mathrm{d}\xi.
  • Definir conversão de A: X_A=\frac{N_{A0}-N_A}{N_{A0}}.Da relação \;N_A=N_{A0}-2\xi\; obtemos X_A=\frac{2\xi}{N_{A0}}\quad\Rightarrow\quad \xi=\frac{N_{A0}}{2}\,X_A.
  • Agora expressar as quantidades molares de cada espécie em função de X_A: N_A=N_{A0}(1-X_A),
N_B=N_{B0}-\xi.
Como N_{B0}=N_{A0}/2 (dado), substituindo \xi:
N_B=\frac{N_{A0}}{2}-\frac{N_{A0}}{2}X_A=\frac{N_{A0}}{2}(1-X_A).
N_C=0+\xi=\frac{N_{A0}}{2}X_A.
  • Soma das mols totais: n_{\text{tot}}=N_A+N_B+N_C =N_{A0}(1-X_A)+\frac{N_{A0}}{2}(1-X_A)+\frac{N_{A0}}{2}X_A.Agrupando e simplificando: n_{\text{tot}}=\frac{N_{A0}}{2}\bigl(3-2X_A\bigr).

Passo 3

Concentrações a partir do comportamento de gás ideal em condições isotérmicas e isobáricas; escrever C_A e C_B em função de X_A.
  • Para gás ideal e P,T constantes, o volume do batelada é V=\frac{n_{\text{tot}}\,R T}{P}.
  • A concentração de qualquer espécie é C_i=N_i/V. Usando V acima, C_i=\frac{N_i}{V}=\frac{P}{R T}\cdot\frac{N_i}{n_{\text{tot}}}.Assim existe um fator comum P/(RT) e as concentrações dependem apenas das frações molares N_i/n_{\text{tot}}.
  • Escrever C_A e C_B usando as fórmulas do Passo 2: C_A=\frac{P}{R T}\cdot\frac{N_A}{n_{\text{tot}}} =\frac{P}{R T}\cdot\frac{N_{A0}(1-X_A)}{\tfrac{N_{A0}}{2}(3-2X_A)} =\frac{P}{R T}\cdot\frac{2(1-X_A)}{3-2X_A}.
C_B=\frac{P}{R T}\cdot\frac{N_B}{n_{\text{tot}}} =\frac{P}{R T}\cdot\frac{\tfrac{N_{A0}}{2}(1-X_A)}{\tfrac{N_{A0}}{2}(3-2X_A)} =\frac{P}{R T}\cdot\frac{1-X_A}{3-2X_A}.

Passo 4

Relacionar a cinética com a variação temporal da conversão no reator batelada; obter uma equação diferencial para X_A(t).
  • Em reator batelada, a variação molar de A é dada por \frac{\mathrm{d}N_A}{\mathrm{d}t}=-2\,\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}.Mas também, pela definição de conversão, \frac{\mathrm{d}N_A}{\mathrm{d}t}=-N_{A0}\,\frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}.
  • A taxa volumétrica de consumo de A (lei dada) é \left(-r_A\right)=k\,C_A\,C_B. Relacionando variação molar total com taxa por volume: \frac{\mathrm{d}N_A}{\mathrm{d}t}=-V\left(-r_A\right)=-V\,k\,C_A\,C_B.(Aqui o sinal já cuida do desaparecimento de A.)
  • Igualando as duas expressões para \mathrm{d}N_A/\mathrm{d}t: -N_{A0}\,\frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}=-V\,k\,C_A\,C_B \quad\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}=\frac{V\,k\,C_A\,C_B}{N_{A0}}.
  • Substituir C_A e C_B (do Passo 3) e V=\dfrac{n_{\text{tot}}RT}{P}:
    primeiro calcular C_A\,C_B: C_A\,C_B=\left(\frac{P}{R T}\right)^2\cdot\frac{2(1-X_A)}{3-2X_A}\cdot\frac{1-X_A}{3-2X_A} =\left(\frac{P}{R T}\right)^2\cdot\frac{2(1-X_A)^2}{(3-2X_A)^2}.Então \frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}= \frac{V\,k}{N_{A0}}\left(\frac{P}{R T}\right)^2\frac{2(1-X_A)^2}{(3-2X_A)^2}.
  • Substituir V=n_{\text{tot}}RT/P=\dfrac{N_{A0}}{2}\dfrac{(3-2X_A)RT}{P} (usando n_{\text{tot}} do Passo 2): \frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}= \frac{\dfrac{N_{A0}}{2}\dfrac{(3-2X_A)RT}{P}\,k}{N_{A0}} \left(\frac{P}{R T}\right)^2\frac{2(1-X_A)^2}{(3-2X_A)^2}.Simplificando fatores (observe que muitos termos N_{A0}, RT, P se cancelam):
    • O fator N_{A0} cancela.
    • O 1/2 e o 2 também se cancelam.
    • Fica um fator \dfrac{P}{R T} sobrando.
    • Simplificação do fator (3-2X_A) deixa apenas um no denominador.
      Resultado final:
    \frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t}=k\left(\frac{P}{R T}\right)\frac{(1-X_A)^2}{3-2X_A}.

Passo 5

Separar variáveis e integrar para obter t em função de X_A; efetuar a integral passo a passo.
  • Escrevendo de forma separável: \mathrm{d}t=\frac{1}{k}\left(\frac{R T}{P}\right)\frac{3-2X_A}{(1-X_A)^2}\,\mathrm{d}X_A.É conveniente definir K\equiv k\,(P/RT) e usar 1/K=RT/(kP); aqui prosseguimos diretamente com fatores explícitos.
  • Avaliar a integral desde X_A=0 até um valor arbitrário X_A: t=\frac{R T}{k P}\int_{0}^{X_A}\frac{3-2X}{(1-X)^2}\,\mathrm{d}X.
  • Fazer a decomposição algébrica do integrando. Note que, com u=1-X, tem-se \frac{3-2X}{(1-X)^2}=\frac{1+2(1-X)}{(1-X)^2} =\frac{1}{(1-X)^2}+\frac{2}{1-X}.
  • Integrar termo a termo: \int\left[\frac{1}{(1-X)^2}+\frac{2}{1-X}\right]\mathrm{d}X =\frac{1}{1-X}-2\ln(1-X)+C,pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}\bigl(\dfrac{1}{1-X}\bigr)=\dfrac{1}{(1-X)^2} e \int\dfrac{2}{1-X}\mathrm{d}X=-2\ln(1-X).
  • Avaliar a primitiva entre 0 e X_A: \left[\frac{1}{1-X}-2\ln(1-X)\right]_{0}^{X_A} =\left(\frac{1}{1-X_A}-2\ln(1-X_A)\right)-\left(1-0\right).(Porque em X=0 temos \dfrac{1}{1-0}=1 e -2\ln(1-0)=0.)
  • Finalmente: t=\frac{R T}{k P}\left[\frac{1}{1-X_A}-2\ln(1-X_A)-1\right].

Resposta

t=\frac{R T}{k P}\left(\frac{1}{1-X_A}-2\ln(1-X_A)-1\right)

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