Estabilidade de suspensão coloidal em fluido hidráulico Partículas de sílica \left(\mathrm{SiO}_{2}\right) com diâmetro de 3 \mu \mathrm{~m} são adicionadas a um fluido hidráulico para modificar suas propriedades de atrito. Calcule a velocidade de sedimentação das partículas e verifique se a suspensão é estável para uso em 24 horas, considerando que sedimentação inferior a 1 mm/dia é aceitável.
Dados:
\begin{aligned} & \rho_{p}=2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=2650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \\\ & \rho_{f}=0,85 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \\\ & \eta=0,08 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}, \\\ & g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} . \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade de sedimentação das partículas de sílica de diâmetro 3\\ \mu\mathrm{m}.
  • Verificar se a suspensão é estável para uso em 24 horas, sabendo que estabilidade significa sedimentação inferior a 1\\ \mathrm{mm/dia}.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades SI quando necessário):
\begin{aligned} & \rho_p = 2650\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ & \rho_f = 850\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ & \eta = 0,08\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ & g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2},\\\ & d = 3\\ \mu\mathrm{m} = 3\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 2

Modelo físico e fórmula a usar (explicação didática passo a passo)
Quando uma partícula esférica sedimenta lentamente em um fluido viscoso e o escoamento em torno dela é laminar (número de Reynolds muito pequeno), a força de arrasto é dada pela lei de Stokes:
F_d = 6\pi \eta r v,
onde:
  • \eta é a viscosidade do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s}),
  • r é o raio da partícula (m),
  • v é a velocidade terminal de sedimentação (m/s).
A força resultante que atua na partícula é o peso efetivo (peso menos empuxo):
F_{\text{ef}} = m g - V \rho_f g,
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • V é o volume da partícula,
  • \rho_f é a densidade do fluido.
Para uma esfera de raio r:
m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_p,\qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3.
No regime estacionário (velocidade terminal) a força de arrasto equilibra a força resultante:
6\pi \eta r v = \frac{4}{3}\pi r^3(\rho_p-\rho_f)g.
Podemos isolar v. Simplificando a expressão obtemos a fórmula conhecida de Stokes para velocidade terminal:
v = \frac{2}{9}\,\frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,r^2}{\eta}.
Alternativamente, usando o diâmetro d=2r:
v = \frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^2}{18\,\eta}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • v: velocidade terminal (m/s),
  • \rho_p: densidade da partícula (kg/m^3),
  • \rho_f: densidade do fluido (kg/m^3),
  • g: aceleração da gravidade (m/s^2),
  • d: diâmetro da partícula (m),
  • \eta: viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).

Passo 3

Cálculo dos parâmetros numéricos iniciais
Raio da partícula:
r = \frac{d}{2} = \frac{3\times10^{-6}}{2}=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Diferença de densidades:
\Delta \rho = \rho_p - \rho_f = 2650 - 850 = 1800\\ \mathrm{kg/m^3}.
Vamos usar a forma com d para evitar refazer potência de r:
v = \frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^2}{18\,\eta}.

Passo 4

Substituição numérica e cálculo da velocidade terminal
Calcule d^2:
d^2 = (3\times10^{-6})^2 = 9\times10^{-12}\\ \mathrm{m^2}.
Calcule o numerador:
(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^2 = 1800 \times 9{,}8 \times 9\times10^{-12}.
Primeiro 1800\times9{,}8 = 17640. Então
17640 \times 9\times10^{-12} = 1{,}5876\times10^{-7}.
Denominador:
18\,\eta = 18 \times 0{,}08 = 1{,}44.
Agora a velocidade:
v = \frac{1{,}5876\times10^{-7}}{1{,}44} = 1{,}1025\times10^{-7}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com sentido prático:
v \approx 1{,}10\times10^{-7}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Conversão da velocidade para \mathrm{mm/dia} (para comparar com o critério)
Velocidade em metros por dia:
v_{\text{m/dia}} = v\times 86400\\ \mathrm{s/dia} = 1{,}1025\times10^{-7}\times86400 = 9{,}5256\times10^{-3}\\ \mathrm{m/dia}.
Converter para milímetros por dia:
v_{\text{mm/dia}} = 9{,}5256\times10^{-3}\times1000 = 9{,}5256\\ \mathrm{mm/dia}.
Arredondando:
v \approx 9{,}53\\ \mathrm{mm/dia}.

Passo 6

Verificação da validade do regime de Stokes (número de Reynolds muito pequeno)
Cálculo do número de Reynolds para a partícula:
\mathrm{Re} = \frac{\rho_f\,v\,d}{\eta}.
Substituindo valores:
\mathrm{Re} = \frac{850\times 1{,}1025\times10^{-7}\times 3\times10^{-6}}{0{,}08}.
Calcule o numerador: 1{,}1025\times10^{-7}\times3\times10^{-6}=3{,}3075\times10^{-13}. Multiplicando por 850 obtém-se 2{,}8114\times10^{-10}. Dividindo por 0{,}08:
\mathrm{Re} \approx 3{,}51\times10^{-9}.
Como \mathrm{Re}\ll1, o uso da lei de Stokes é perfeitamente válido.

Passo 7

Interpretação e conclusão sobre estabilidade em 24 horas
  • A sedimentação calculada é de aproximadamente 9{,}53\\ \mathrm{mm/dia}.
  • O critério aceitável dado é <1\\ \mathrm{mm/dia}.
    Portanto, a suspensão NÃO é estável para uso em 24 horas: a sedimentação é cerca de 9{,}5 vezes maior que o limite aceitável.
Observação prática (dica rápida): para reduzir a sedimentação pode-se usar partículas menores, aumentar a viscosidade do fluido, aproximar a densidade do fluido da densidade da partícula (reduzir \Delta\rho) ou usar agentes estabilizantes/dispersantes.

Resposta

Velocidade de sedimentação v \approx 1{,}10\times10^{-7}\\ \mathrm{m/s} = 9{,}53\\ \mathrm{mm/dia}.
Suspensão estável em 24 horas? Não — sedimentação de aproximadamente 9{,}53\\ \mathrm{mm/dia} (maior que 1\\ \mathrm{mm/dia}).

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