Em uma estação de trabalho, produtos chegam (e entram) em média a cada 60 minutos. A estação é composta de um grupo de pessoas, máquina, ferramentas, etc., que operam em conjunto para processar cada produto individualmente. Cada produto requer em média 50 minutos de processamento na estação. O tempo médio de permanência (leadtime) na estação é de 120 minutos.
(i) Qual é a utilização média da estação?
(ii) Qual é o número médio de produtos na estação (estoque em processo)?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo médio entre chegadas: \text{cada }60 minutos, logo a taxa de chegada é \lambda = \dfrac{1}{60} (unidades: produtos por minuto).
    • Tempo médio de processamento (serviço) por produto: \text{cada }50 minutos. Vou chamar isso de S=50 (unidades: minutos por produto).
    • Tempo médio de permanência (leadtime) na estação: W=120 minutos.
  • Perguntas:
    1. Qual é a utilização média da estação?
    2. Qual é o número médio de produtos na estação (estoque em processo)?

Passo 2

Explicar o conceito de utilização e a fórmula que vamos usar.
  • A utilização média \rho mede a fração do tempo em que a estação está ocupada processando produtos. Para uma única “linha” de processamento com taxa de chegada média \lambda e tempo médio de serviço S, a utilização é dada por
\rho = \lambda \cdot S.
  • Aqui \lambda tem unidades “produtos por minuto” e S tem unidades “minutos por produto”, então o produto \lambda S é adimensional (fração entre 0 e 1 se o sistema for estável).
Vou aplicar essa fórmula com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular a taxa de chegada \lambda explicitamente e aplicar a fórmula.
  • A taxa de chegada é
\lambda = \dfrac{1}{60}\quad\text{(produtos por minuto)}.
  • O tempo médio de serviço é
S = 50\quad\text{(minutos por produto)}.
  • Portanto a utilização é
\rho = \lambda \cdot S = \dfrac{1}{60}\cdot 50 = \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}.
  • Em decimal isso vale
\rho \approx 0,8333\quad\text{ou}\quad 83{,}33\%.

Passo 4

Verificação rápida de estabilidade (intuição útil para prova).
  • Para o sistema ser estável espera-se \rho<1. Aqui \rho=\dfrac{5}{6}<1, logo a estação não está sobrecarregada ao ponto de crescer indefinidamente o número de produtos.

Passo 5

Explicar a Lei de Little (ferramenta para calcular número médio no sistema).
  • A Lei de Little afirma que, em regime estacionário, o número médio de itens no sistema L (aqui: estoque em processo) está relacionado com a taxa média de chegada \lambda e o tempo médio que um item permanece no sistema W por
L = \lambda \cdot W.
  • Interpretação: em média chegam \lambda produtos por minuto e cada um fica W minutos; o produto dá quantos produtos, em média, estão simultaneamente no sistema.

Passo 6

Aplicar a Lei de Little com os números do enunciado.
  • Já temos \lambda = \dfrac{1}{60} (produtos/min) e W=120 minutos. Então
L = \lambda \cdot W = \dfrac{1}{60}\cdot 120 = \dfrac{120}{60} = 2.
  • Logo o número médio de produtos na estação é 2 produtos.

Passo 7

Intuição final e dicas para prova (curto e prático).
  • Intuição: chegam, em média, 1 produto a cada 60 min; cada produto fica 120 min na estação, então sempre haverá, em média, 120/60=2 produtos “no caminho”.
  • A utilização \rho=\dfrac{5}{6} diz que a estação fica ocupada cerca de 83{,}33\% do tempo — é um número que costuma aparecer nas questões para checar se o sistema é estável ( \rho<1).
  • Dica de prova: memorize \rho=\lambda S e a Lei de Little L=\lambda W; com esses dois, muitas questões ficam diretas.

Resposta

i) \rho = \dfrac{5}{6} \approx 0,8333 (83{,}33%)
ii) L = 2 produtos

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