Em uma estação de tratamento de água, um contaminante orgânico A pode ser removido por dois processos distintos, dependendo das condições do meio:
  • Em meio diluído, sua degradação segue uma cinética de primeira ordem.
  • Em concentrações mais elevadas, a degradação passa a seguir uma cinética de segunda ordem, em virtude da interação entre moléculas do próprio contaminante.
    Após iniciar o processo em um mecanismo, ele não é mais modificado, independentemente da concentração.
    Um técnico realiza dois experimentos:
    Experimento 1 (meio diluído):
    A concentração inicial de A é 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração cai para 0,01 .
    Experimento 2 (alta concentração):
    A concentração inicial de A é 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração diminui para 0,01 .
    Determine a constante de velocidade \mathrm{k}_{1}, utilizando a equação integrada apropriada.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado do Experimento 1 (meio diluído):
    • Concentração inicial: [A]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
    • Concentração após 30 minutos: [A]_{30} = 0,01\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
    • Tempo observado: t = 30\\ \mathrm{min}.
  • Dado do Experimento 2 (alta concentração): existe, mas NÃO é necessário para calcular \,k_1 do caso de primeira ordem.
  • Pedido: determinar a constante de velocidade \,k_1 usando a equação integrada apropriada (para o mecanismo que ocorre em meio diluído).

Passo 2

Qual é a equação integrada de primeira ordem e o significado das letras
  • Para uma reação de primeira ordem a relação integrada entre concentração e tempo é
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k_1\,t.
  • Aqui:
    • [A]_0 é a concentração inicial de A.
    • [A]_t é a concentração de A no tempo t.
    • k_1 é a constante de velocidade de primeira ordem (unidade \mathrm{tempo}^{-1}, por exemplo \mathrm{min}^{-1}).
    • \ln é o logaritmo natural.
Breve explicação da fórmula (por que usar ela): a cinética de primeira ordem significa que a velocidade instantânea é proporcional à concentração [A]. Ao separar variáveis e integrar, obtemos a forma acima, que permite calcular k_1 a partir de duas concentrações em dois instantes.

Passo 3

Isolar k_1 na equação integrada
A partir de
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k_1\,t
isolamos k_1:
k_1 = -\frac{1}{t}\,\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right).
Isto é uma manipulação algébrica direta: divide-se ambos os lados por -t.

Passo 4

Substituir os valores do Experimento 1 e calcular passo a passo
  • Primeiro calcule a razão das concentrações:
\frac{[A]_{30}}{[A]_0}=\frac{0,01}{0,10}=0,1.
  • Calcule o logaritmo natural:
\ln(0,1)=\ln\!\left(\frac{1}{10}\right)=-\ln(10)\approx -2,302585093.
  • Agora calcule k_1 usando t=30\\ \mathrm{min}:
k_1 = -\frac{1}{30}\,\ln(0,1) = -\frac{1}{30}\times(-2,302585093)=\frac{2,302585093}{30}.
  • Fazer a divisão:
k_1 \approx 0,076752836\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Arredondando de forma prática para a prova:
k_1 \approx 0,0768\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem (útil para a prova)
  • Unidade: \mathrm{min}^{-1} (significa que a fração da concentração que decai por minuto é governada por esse valor).
  • Verificação rápida: calcular [A]_{30}=[A]_0 e^{-k_1 t}.
[A]_{30}=0,10\times e^{-0,076752836\times 30}=0,10\times e^{-2,30258508}\approx 0,10\times 0,1=0,01,
o que confere com o dado experimental.

Resposta

k_1 \approx 0,0768\\ \mathrm{min}^{-1}

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