O estado de deformação em um ponto em um membro de aço é dado por epsilonx=800(10^-6), epsilony=450(10^-6) e gammax y=280(10^-6). Usando a lei de Hooke generalizada, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto. Além disso, determine a orientação dos elementos que estão sujeitos a essas tensões. Esboce os resultados nos elementos. E aço =200 GPa, nu aço =0,3çç.

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício tá pedindo: a gente tem as deformações num ponto de um membro de aço
epsilonx = 800times10^-6, epsilony = 450times10^-6, gammaxy=280times10^-6
e conhece as propriedades do aço
E = 200 GPa, nu=0,3
O que vamos fazer:
  1. Converter essas deformações em tensões usando a Lei de Hooke generalizada (conteúdo: estado plano de tensões e elasticidade linear).
  2. A partir das tensões normais e de cisalhamento, calcular as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima (conteúdo: fórmulas de tensões principais).
  3. Descobrir em que ângulo em relação ao eixo essas tensões ocorrem (conteúdo: orientação de elementos principais).
  4. No fim, esboçar e dar a resposta numérica.

Passo 2

Calcular sigmax = E1-nu^2l(epsilonx + nu,epsilonyr), sigmay = E1-nu^2l(epsilony + nu,epsilonxr), , tauxy = G,gammaxy, G=E2(1+nu) e G = 200 GPa2(1+0.3) = 2002,6 GPaapprox 76,923 GPa pela Lei de Hooke em plano (2D – plano de tensões):
tauxy = 76,923times10^9cdot 280times10^-6 approx 21,54 MPa
200 GPa1-0.3^2=2000.91 GPaapprox 219,78 GPa
Vamos calcular passo a passo:
  1. Módulo de cisalhamento sigmax = 219,78times10^9,(800+0.3cdot450)times10^-6 =219,78times10^9cdot935times10^-6 approx 205,5 MPa,
  2. Tensão de cisalhamento sigmay = 219,78times10^9,(450+0.3cdot800)times10^-6 =219,78times10^9cdot690times10^-6 approx 151,6 MPa
  3. Coeficiente
  4. Tensões normais

Passo 3

Agora as tensões principais sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raizl(sigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2, . Usamos as fórmulas
sigmax + sigmay2 = 205,5 +151,62=178,55 MPa, sigmax - sigmay2 = 205,5 -151,62=26,95 MPa
  1. Média e diferença raiz26,95^2 +21,54^2 =raiz726,7 +464,0approx 34,51 MPa
  2. Raiz sigma1 = 178,55 +34,51 =213,06 MPa, sigma2 = 178,55 -34,51 =144,04 MPa
Então

Passo 4

A tensão de cisalhamento máxima no ponto é justamente
taumax = raizl(tfracsigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2 = 34,51 MPa

Passo 5

Orientação das direções principais:
tan(2thetap) = 2,tauxysigmax - sigmay = 2cdot21,54205,5 -151,6 = 43,0853,9approx0,799
Logo
2thetap = arctan(0,799)approx38,5^circ Longrightarrow thetapapprox19,3^circ
As faces de máxima tensão cisalhante ficam a .

Resposta

\sigma_1 = 213{,}06MPa,\quad
\sigma_2 = 144{,}04MPa,\quad
\tau_{\max} = 34{,}51MPa.
As direções principais estão a do eixo , e as de máximo cisalhamento a .

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