Questão 5: Se
e
, determine o momento resultante produzido por essas forças no ponto O. Expresse o resultado em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas forças em coordenadas cartesianas:
F₁ = A i – B j + C k (em lb)
F₂ = –233 i + 250 j + 87 k (em lb)
e que os termos Ai, Bj e Ck valem:
Ai = 225 Bj = 247 Ck = 388.
A matéria aqui é “Momento de uma força em relação a um ponto” (Momento = r × F).
Para resolver, precisamos:
F₁ = A i – B j + C k (em lb)
F₂ = –233 i + 250 j + 87 k (em lb)
e que os termos Ai, Bj e Ck valem:
Ai = 225 Bj = 247 Ck = 388.
A matéria aqui é “Momento de uma força em relação a um ponto” (Momento = r × F).
Para resolver, precisamos:
- Encontrar as componentes de F₁ substuindo Ai, Bj, Ck.
- Saber o vetor posição r de aplicação de cada força (aqui vamos assumir que ambas agem ao longo do mesmo vetor posição r = Ai + Bj + Ck).
- Fazer o produto vetorial r × F para cada força (ou, nesse caso, direto com a resultante F_R).
Passo 2
Primeiro, obtemos F₁ em valores numéricos:
Ai = 225 ⇒ termo em i é +225
Bj = 247 ⇒ termo em j é –247
Ck = 388 ⇒ termo em k é +388
Logo
F₁ = 225 i – 247 j + 388 k (lb)
Ai = 225 ⇒ termo em i é +225
Bj = 247 ⇒ termo em j é –247
Ck = 388 ⇒ termo em k é +388
Logo
F₁ = 225 i – 247 j + 388 k (lb)
Passo 3
Em seguida, somamos F₁ e F₂ para achar a força resultante F_R:
F₂ = –233 i + 250 j + 87 k
F_R = F₁ + F₂
= (225 – 233) i + (–247 + 250) j + (388 + 87) k
= –8 i + 3 j + 475 k (lb)
F₂ = –233 i + 250 j + 87 k
F_R = F₁ + F₂
= (225 – 233) i + (–247 + 250) j + (388 + 87) k
= –8 i + 3 j + 475 k (lb)
Passo 4
Agora, assumindo que ambas as forças agem ao longo do mesmo ponto cuja posição em relação a O é
r = Ai + Bj + Ck = 225 i + 247 j + 388 k
(mesmo vetor dos dados Ai, Bj, Ck), o momento resultante em O é
M_O = r × F_R.
r = Ai + Bj + Ck = 225 i + 247 j + 388 k
(mesmo vetor dos dados Ai, Bj, Ck), o momento resultante em O é
M_O = r × F_R.
Vamos montar o determinante para o produto vetorial:
M_O = ∣
i j k
225 247 388
–8 3 475
∣
M_O = ∣
i j k
225 247 388
–8 3 475
∣
Passo 5
Calcular os componentes de M_O:
M_O,x = + (247·475 – 388·3)
= 247·475 – 388·3
= 117 325 – 1 164
= 116 161
M_O,x = + (247·475 – 388·3)
= 247·475 – 388·3
= 117 325 – 1 164
= 116 161
M_O,y = – (225·475 – 388·(–8))
= – [225·475 + 388·8]
= – [106 875 + 3 104]
= –109 979
= – [225·475 + 388·8]
= – [106 875 + 3 104]
= –109 979
M_O,z = 225·3 – 247·(–8)
= 675 + 1 976
= 2 651
= 675 + 1 976
= 2 651
Resposta
O momento resultante em O, em coordenadas cartesianas, é
M_O = 116161 i – 109979 j + 2651 k (lb·unidade de comprimento)
M_O = 116161 i – 109979 j + 2651 k (lb·unidade de comprimento)