Em
o estado de uma partícula livre é especificado pela função de onda
Calcule o valor esperado do operador
. O que esse operador representa?
Passo 1
O enunciado diz que, em t=0, a função de onda de uma partícula livre (V(x)=0) é
e pede o valor esperado do Hamiltoniano
Conteúdo: Mecânica Quântica — valor esperado de operador.
Vamos usar:
Vamos usar:
- normalização da gaussiana,
- definição
, - para partícula livre
, sobra só a parte cinética.
Passo 2
Teoria do valor esperado e do operador cinético
- Definição geral:
- Aqui
porque . - A parte cinética é
Então
Passo 3
Normalização e propriedades da gaussiana
- A constante
se acha impondo . - Mais prático: sabemos que uma gaussiana
normalizada tem
. - Para
temos e
.
Passo 4
Cálculo de
via momento
Em geral e
.
Logo
Em geral
Logo
- Com essa
temos . - A largura da gaussiana em
dá .
Então
E portanto
Resposta
onde
é o Hamiltoniano (operador de energia total), que aqui reduz-se à energia cinética de uma partícula livre.