Em t=0 o estado de uma partícula livre é especificado pela função de onda
Psi(x, 0)=A e^-x^2a^2+i k0 x
Calcule o valor esperado do operador H=-hbar^22 m partial^2partial x^2+V(x). O que esse operador representa?

Passo 1

O enunciado diz que, em t=0, a função de onda de uma partícula livre (V(x)=0) é
Psi(x,0)=A,e^-,x^2a^2+i k0 x
e pede o valor esperado do Hamiltoniano
hat H=-hbar^22mpartial^2partial x^2+V(x),
Conteúdo: Mecânica Quântica — valor esperado de operador.
Vamos usar:
  1. normalização da gaussiana,
  2. definição ,
  3. para partícula livre , sobra só a parte cinética.

Passo 2

Teoria do valor esperado e do operador cinético
  • Definição geral: lang<= Hrang<= =integral-infty^+inftyPsi^*(x,0),hat H,Psi(x,0),dx,
  • Aqui hat T =-hbar^22md^2dx^2, porque lang<= Hrang<= =-hbar^22mintegralPsi^*(x,0),d^2Psi(x,0)dx^2,dx, .
  • A parte cinética é
Então

Passo 3

Normalização e propriedades da gaussiana
  1. A constante se acha impondo .
  2. Mais prático: sabemos que uma gaussiana
    normalizada tem
    .
  3. Para temos e
    .

Passo 4

Cálculo de lang<= Trang<= =12m,lang<= p^2rang<= =12ml(lang<= prang<=^2+(De via momento
Em geral lang<= p^2rang<= =(hbar k0)^2+hbar^22a^2 =hbar^2k0^2+hbar^22a^2 e lang<= Trang<= =hbar^2k0^22m+hbar^24m,a^2 .
Logo
  • Com essa temos .
  • A largura da gaussiana em .
    Então
E portanto

Resposta

boxed lang<= Hrang<= =hbar^2k0^22m ;+;hbar^24m,a^2,
onde é o Hamiltoniano (operador de energia total), que aqui reduz-se à energia cinética de uma partícula livre.

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