Se tem uma massa m localizada a uma distância x acima do centro de um anel de massa M e raio R. O anel se encontra no plano yz e seu centro está na origem. Mostrar que a força de atração gravitacional do anel sobre a massa é na direção negativa de x e seu módulo é dado pela expressão
F=G M m x(R^2+x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um anel de massa F ;=;G,M,m,xl(R^2 + x^2r)^3/2 e raio que está no plano com centro na origem, e uma massa posicionada no eixo , a uma distância do centro do anel. A gente precisa mostrar que a força gravitacional que o anel faz em aponta pra direção negativa de e que o módulo dela é
Conteúdo: Lei da Gravitação de Newton, simetria e integração. Vamos usar o princípio da superposição e integrar as contribuições de cada pedacinho de massa do anel.

Passo 2

Primeiro, escolhe um elemento de massa infinitesimal do anel, lambda ;=;M2pi R . Como o anel é uniforme, a densidade linear é
dm ;=;lambda,R,dphi ;=;M2pi R,R,dphi ;=;M2pi,dphi
Num ângulo r ;=;raizR^2 + x^2 medido em volta do anel, o pedacinho tem comprimento dF ;=;-,G,m,dmr^2,r, , então
A distância do elemento até a massa é sempre a mesma,
Pela lei da gravitação, a força de sobre vale
onde o sinal “–” mostra que é atrativa, e é o versor que aponta de pra .

Passo 3

Por simetria, todas as componentes no plano dFx ;=;dF,costheta, se cancelam, só sobra a componente ao longo de dF ;=;G,m,dmr^2, costheta ;=;xr . A componente dFx = G,m,dmr^2,xr = G,m,x,dmr^3 de é
sendo
Então
Como é força de atração no sentido negativo de , vamos lembrar no final de pôr o sinal “–”.

Passo 4

Agora integra sobre o anel inteiro ( Fx = integral dFx = G,m,x,integral0^2pidmr^3 = G,m,x,1r^3integral0^2pidm de Fx = G,M,m,xl(R^2 + x^2r)^3/2 a ):
Mas . E . Logo

Resposta

A força resultante aponta para o negativo do eixo boxedF ;=;G,M,m,xl(R^2 + x^2r)^3/2, , e seu módulo é

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