Se tem uma massa
localizada a uma distância
acima do centro de um anel de massa
e raio
. O anel se encontra no plano
e seu centro está na origem. Mostrar que a força de atração gravitacional do anel sobre a massa é na direção negativa de
e seu módulo é dado pela expressão
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um anel de massa
e raio
que está no plano
com centro na origem, e uma massa
posicionada no eixo
, a uma distância
do centro do anel. A gente precisa mostrar que a força gravitacional que o anel faz em
aponta pra direção negativa de
e que o módulo dela é
Conteúdo: Lei da Gravitação de Newton, simetria e integração. Vamos usar o princípio da superposição e integrar as contribuições de cada pedacinho de massa do anel.
Passo 2
Primeiro, escolhe um elemento de massa infinitesimal do anel,
. Como o anel é uniforme, a densidade linear é
Num ângulo
medido em volta do anel, o pedacinho tem comprimento
, então
A distância do elemento
até a massa
é sempre a mesma,
Pela lei da gravitação, a força de
sobre
vale
onde o sinal “–” mostra que é atrativa, e
é o versor que aponta de
pra
.
Passo 3
Por simetria, todas as componentes no plano
se cancelam, só sobra a componente ao longo de
. A componente
de
é
sendo
Então
Como é força de atração no sentido negativo de
, vamos lembrar no final de pôr o sinal “–”.
Passo 4
Agora integra sobre o anel inteiro (
de
a
):
Mas
. E
. Logo
Resposta
A força resultante aponta para o negativo do eixo
, e seu módulo é