Calcular a força de atração gravitacional que um semianel de massa M e raio R exerce sobre uma massa pontual m, localizada no seu centro. Se o sistema está no plano xy e massa m se encontra na origem, mostrar que a força só possui componente y e seu módulo é dado por
F=2 G m Mpi R^2

Passo 1

Beleza! O enunciado manda calcular a força gravitacional que um semianel (meio anel) de massa F = 2,G,m,Mpi,R^2 e raio exerce sobre uma massa pontual que está bem no centro (origem) do semianel, que está no plano . A gente espera mostrar que só sobra componente em e que o módulo é
O conteúdo aqui é Lei da Gravitação de Newton + superposição de forças + integração numa densidade linear de massa.

Passo 2

Primeiro, dividimos o semianel em pedaços infinitesimais de massa lambda = Mpi R . Como o semianel tem comprimento total dm = lambda,R,dtheta = Mpi R,R,dtheta = Mpi,dtheta , a densidade linear de massa é
dF = G,m,dmR^2 = G,mR^2,Mpi,dtheta
Um pedacinho de arco de comprimento tem massa
Pela Lei de Newton, a força desse pedacinho sobre vale

Passo 3

Agora decompondo em componentes: se o pedaço está num ângulo dFx = dFcostheta, dFy = dFsintheta a partir do eixo , a força aponta radialmente para dentro, então
com dado acima.

Passo 4

Integramos Fx = integral0^pi dFcostheta = G,mMpi R^2integral0^pi costheta,dtheta = 0 de Fy = integral0^pi dFsintheta = G,mMpi R^2integral0^pi sintheta,dtheta = G,mMpi R^2cdot 2 = 2,G,m,Mpi,R^2 a .
– Componente :
Porque .
– Componente :

Resposta

A força resultante aponta no eixo boxedF = 2,G,m,Mpi,R^2 e seu módulo é

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