Calcular a força de atração gravitacional que um semianel de massa
e raio
exerce sobre uma massa pontual
, localizada no seu centro. Se o sistema está no plano
e massa
se encontra na origem, mostrar que a força só possui componente
e seu módulo é dado por
Passo 1
Beleza! O enunciado manda calcular a força gravitacional que um semianel (meio anel) de massa
e raio
exerce sobre uma massa pontual
que está bem no centro (origem) do semianel, que está no plano
. A gente espera mostrar que só sobra componente em
e que o módulo é
O conteúdo aqui é Lei da Gravitação de Newton + superposição de forças + integração numa densidade linear de massa.
Passo 2
Primeiro, dividimos o semianel em pedaços infinitesimais de massa
. Como o semianel tem comprimento total
, a densidade linear de massa é
Um pedacinho de arco de comprimento
tem massa
Pela Lei de Newton, a força desse pedacinho sobre
vale
Passo 3
Agora decompondo em componentes: se o pedaço está num ângulo
a partir do eixo
, a força aponta radialmente para dentro, então
com
dado acima.
Passo 4
Integramos
de
a
.
– Componente :
– Componente
Porque
.
– Componente :
– Componente
Resposta
A força resultante aponta no eixo
e seu módulo é