O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e ( ( c ) ) a deformação de cisalhamente máxima. (Use \nu=1 / 3.)
\epsilon_{x}
\epsilon_{y}
\gamma_{xy}
7.138
-600 \mu
-400 \mu
+350 \mu
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
\epsilon_{x} = -600\\ \mu
\epsilon_{y} = -400\\ \mu
\gamma_{xy} = +350\\ \mu
O enunciado pede:
(a) a direção e a intensidade (valor) das deformações principais;
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, a máxima deformação de cisalhamento no plano xy);
(c) a deformação de cisalhamento máxima (considerando o estado tridimensional resultante, já que a superfície está livre de tensão).
Observação importante que vem do enunciado: “a superfície da placa está livre de tensão” implica que a tensão normal à superfície é nula (\sigma_{z}=0). Para materiais lineares isotrópicos isso dá uma relação entre as deformações que será usada abaixo. Vou usar \nu = 1/3 conforme pedido.
Passo 2
Converter definições e preparar o tensor de deformação.
Explicação conceitual (didática e necessária): em mecânica dos meios contínuos existem dois tipos de quantidades de cisalhamento frequentemente usados:
a componente do tensor de deformação \epsilon_{xy} (chamada às vezes “shear strain tensorial”), que é igual a metade da “deformação de cisalhamento de engenharia” \gamma_{xy}. Ou seja,
\epsilon_{xy} = \tfrac{1}{2}\gamma_{xy}.
Isto é porque \gamma_{xy} é a variação angular total entre direções x e y, enquanto \epsilon_{xy} é o termo do tensor simétrico de deformação.
Aplicando isso aos números dados (sempre escrevendo números em TeX):
Agora, por causa de \sigma_{z}=0 (superfície livre de tensão), a lei de Hooke para deformações em estado de plano de tensão dá (para material isotrópico linear):
Montar o tensor de deformação (matriz) e lembrar o que são deformações principais.
O tensor de deformação (simétrico) no sistema (x,y,z), com os valores que temos (unidades em \mu, mas matematicamente trata-se de números multiplicados por 10^{-6}), é:
Explicação: não há termos mistos envolvendo z porque a medição foi na superfície e não há deformação de tangente com z fornecida; a componente \epsilon_{z} veio da condição \sigma_{z}=0.
As deformações principais são os autovalores (eigenvalues) deste tensor. Como o bloco 2\times2 em x,y é independente de z, um autovalor já conhecido é \epsilon_{z}=333{,}333\\ \mu. Os outros dois autovalores saem do bloco 2\times2:
Interpretação: uma das direções principais no plano xy faz um ângulo \theta_{p}\approx -30{,}13^\circ (ou, em sentido positivo, 329{,}87^\circ) com o eixo x; a outra direção principal no plano é perpendicular a esta, ou seja \theta_{p}+90^\circ\approx 59{,}872^\circ.
Observação: a direção associada a \epsilon_{1}^{(plane)}=-298{,}444\\ \mu corresponde ao ângulo \theta_{p} calculado; a direção associada a \epsilon_{2}^{(plane)}=-701{,}556\\ \mu é \theta_{p}+90^\circ.
Passo 7
Calcular a deformação de cisalhamento máxima no plano (xy).
Explicação: no plano, a máxima deformação de cisalhamento (engenharia), \gamma_{max}^{(plane)}, é a diferença entre as duas deformações principais do plano:
Se alguém pedir a componente tensorial máxima de cisalhamento (meio da engenharia), seria \dfrac{\gamma_{max}^{(plane)}}{2}=201{,}556\\ \mu.
Passo 8
Calcular a deformação de cisalhamento máxima tridimensional (maior cisalhamento entre quaisquer planos).
Explicação: no estado tridimensional, a máxima deformação de cisalhamento de engenharia é dada pelo maior valor absoluto da diferença entre quaisquer duas deformações principais:
A componente tensorial correspondente (meia engenharia) seria \dfrac{\gamma_{max}^{(3D)}}{2}\approx 517{,}444\\ \mu.
Resposta
(a) \epsilon_{1}=+333{,}333\\ \mu (direção: eixo z, normal à superfície); \epsilon_{2}=-298{,}444\\ \mu (direção no plano xy: \theta\approx -30{,}128^\circ medido a partir de x); \epsilon_{3}=-701{,}556\\ \mu (direção no plano xy: \theta\approx 59{,}872^\circ, perpendicular à anterior).
(b) Deformação de cisalhamento máxima no plano xy: \gamma_{max}^{(plane)} = 403{,}112\\ \mu.
(c) Deformação de cisalhamento máxima (3D): \gamma_{max}^{(3D)} = 1{,}034{,}889\\ \mu.