O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e ( ( c ) ) a deformação de cisalhamente máxima. (Use \nu=1 / 3.)
\epsilon_{x} \epsilon_{y} \gamma_{xy}
7.138 -600 \mu -400 \mu +350 \mu

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
  • \epsilon_{x} = -600\\ \mu
  • \epsilon_{y} = -400\\ \mu
  • \gamma_{xy} = +350\\ \mu
O enunciado pede:
(a) a direção e a intensidade (valor) das deformações principais;
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, a máxima deformação de cisalhamento no plano xy);
(c) a deformação de cisalhamento máxima (considerando o estado tridimensional resultante, já que a superfície está livre de tensão).
Observação importante que vem do enunciado: “a superfície da placa está livre de tensão” implica que a tensão normal à superfície é nula ( \sigma_{z}=0). Para materiais lineares isotrópicos isso dá uma relação entre as deformações que será usada abaixo. Vou usar \nu = 1/3 conforme pedido.

Passo 2

Converter definições e preparar o tensor de deformação.
Explicação conceitual (didática e necessária): em mecânica dos meios contínuos existem dois tipos de quantidades de cisalhamento frequentemente usados:
  • a componente do tensor de deformação \epsilon_{xy} (chamada às vezes “shear strain tensorial”), que é igual a metade da “deformação de cisalhamento de engenharia” \gamma_{xy}. Ou seja,
\epsilon_{xy} = \tfrac{1}{2}\gamma_{xy}.
Isto é porque \gamma_{xy} é a variação angular total entre direções x e y, enquanto \epsilon_{xy} é o termo do tensor simétrico de deformação.
Aplicando isso aos números dados (sempre escrevendo números em TeX):
\epsilon_{xy} = \tfrac{1}{2}\gamma_{xy} = \tfrac{1}{2}\cdot 350\\ \mu = 175\\ \mu.
Agora, por causa de \sigma_{z}=0 (superfície livre de tensão), a lei de Hooke para deformações em estado de plano de tensão dá (para material isotrópico linear):
\epsilon_{z} = -\nu\left(\epsilon_{x}+\epsilon_{y}\right).
Isto vem de escrever \sigma_{z}=0 em função de \epsilon_{x},\epsilon_{y},\epsilon_{z} e isolar \epsilon_{z}. Substituindo \nu=1/3 e os valores:
\epsilon_{x}+\epsilon_{y} = -600\\ \mu + (-400\\ \mu) = -1000\\ \mu,
\epsilon_{z} = -\tfrac{1}{3}(-1000\\ \mu) = +333{,}333\\ \mu.
Portanto \epsilon_{z}\approx +333{,}333\\ \mu.

Passo 3

Montar o tensor de deformação (matriz) e lembrar o que são deformações principais.
O tensor de deformação (simétrico) no sistema (x,y,z), com os valores que temos (unidades em \mu, mas matematicamente trata-se de números multiplicados por 10^{-6}), é:
\mathbf{\epsilon}= \begin{pmatrix} \epsilon_{x} & \epsilon_{xy} & 0\\[4pt] \epsilon_{xy} & \epsilon_{y} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \epsilon_{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -600 & 175 & 0\\[4pt] 175 & -400 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 333{,}333 \end{pmatrix}\\ \text{(em \(\mu\))}.
Explicação: não há termos mistos envolvendo z porque a medição foi na superfície e não há deformação de tangente com z fornecida; a componente \epsilon_{z} veio da condição \sigma_{z}=0.
As deformações principais são os autovalores (eigenvalues) deste tensor. Como o bloco 2\times2 em x,y é independente de z, um autovalor já conhecido é \epsilon_{z}=333{,}333\\ \mu. Os outros dois autovalores saem do bloco 2\times2:
\begin{pmatrix} -600 & 175\\[4pt] 175 & -400 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular analyticamente as deformações principais no plano xy (fórmula padrão) e obter os valores.
Fórmula (padrão para 2D): as deformações principais no plano (autovalores do bloco 2\times2) são
\epsilon_{1,2}^{(plane)} = \frac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2}\right)^{2}+\epsilon_{xy}^{2}}.
Aqui cada termo é explicado:
  • \dfrac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2} é o valor médio (média normal das deformações);
  • \dfrac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2} mede o desvio entre as normais x e y;
  • \epsilon_{xy} é a componente tensorial de cisalhamento já calculada.
Calcular os termos numéricos (em \mu):
\frac{\epsilon_{x}+\epsilon_{y}}{2} = \frac{-600 + (-400)}{2} = -500\\ \mu,
\frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2} = \frac{-600 - (-400)}{2} = \frac{-200}{2} = -100\\ \mu,
\sqrt{(-100)^{2} + 175^{2}} = \sqrt{10000 + 30625} = \sqrt{40625} \approx 201{,}556\\ \mu.
Logo
\epsilon_{1}^{(plane)} = -500 + 201{,}556 = -298{,}444\\ \mu,
\epsilon_{2}^{(plane)} = -500 - 201{,}556 = -701{,}556\\ \mu.
Observação didática: estes dois valores são perpendicularmente orientados entre si (direções principais no plano xy).

Passo 5

Determinar as três deformações principais tridimensionais e ordenar (maior para menor).
Do passo anterior e do passo 2 obtemos os três autovalores (em \mu):
  • \epsilon_{(a)} = \epsilon_{z} = +333{,}333\\ \mu,
  • \epsilon_{(b)} = \epsilon_{1}^{(plane)} = -298{,}444\\ \mu,
  • \epsilon_{\text{(c)}} = \epsilon_{2}^{(plane)} = -701{,}556\\ \mu.
Ordenando do maior para o menor:
\epsilon_{\text{max}} = +333{,}333\\ \mu,\quad \epsilon_{\text{mid}} = -298{,}444\\ \mu,\quad \epsilon_{\text{min}} = -701{,}556\\ \mu.

Passo 6

Calcular as direções das deformações principais no plano xy.
Fórmula padrão para o ângulo \theta_{p} da direção principal medida a partir do eixo x (sentido positivo anti-horário) para as deformações é:
\tan(2\theta_{p}) = \frac{2\epsilon_{xy}}{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}.
Aqui \epsilon_{xy} é o termo tensorial (já usamos 175\\ \mu).
Calcule:
\tan(2\theta_{p}) = \frac{2\cdot 175}{-600 - (-400)} = \frac{350}{-200} = -1{,}75.
Logo
2\theta_{p} = \arctan(-1{,}75) \approx -60{,}255^\circ,
\theta_{p} \approx -30{,}128^\circ.
Interpretação: uma das direções principais no plano xy faz um ângulo \theta_{p}\approx -30{,}13^\circ (ou, em sentido positivo, 329{,}87^\circ) com o eixo x; a outra direção principal no plano é perpendicular a esta, ou seja \theta_{p}+90^\circ\approx 59{,}872^\circ.
Observação: a direção associada a \epsilon_{1}^{(plane)}=-298{,}444\\ \mu corresponde ao ângulo \theta_{p} calculado; a direção associada a \epsilon_{2}^{(plane)}=-701{,}556\\ \mu é \theta_{p}+90^\circ.

Passo 7

Calcular a deformação de cisalhamento máxima no plano ( xy).
Explicação: no plano, a máxima deformação de cisalhamento (engenharia), \gamma_{max}^{(plane)}, é a diferença entre as duas deformações principais do plano:
\gamma_{max}^{(plane)} = \epsilon_{1}^{(plane)} - \epsilon_{2}^{(plane)} = 2\sqrt{\left(\frac{\epsilon_{x}-\epsilon_{y}}{2}\right)^{2}+\epsilon_{xy}^{2}}.
Usando os números:
\gamma_{max}^{(plane)} = 2\cdot 201{,}556 = 403{,}112\\ \mu.
Se alguém pedir a componente tensorial máxima de cisalhamento (meio da engenharia), seria \dfrac{\gamma_{max}^{(plane)}}{2}=201{,}556\\ \mu.

Passo 8

Calcular a deformação de cisalhamento máxima tridimensional (maior cisalhamento entre quaisquer planos).
Explicação: no estado tridimensional, a máxima deformação de cisalhamento de engenharia é dada pelo maior valor absoluto da diferença entre quaisquer duas deformações principais:
\gamma_{max}^{(3D)} = \max_{i,j} \left|\epsilon_{i}-\epsilon_{j}\right|.
Calculando as diferenças entre os três autovalores:
\epsilon_{\text{max}} - \epsilon_{\text{min}} = 333{,}333 - (-701{,}556) = 1{,}034{,}889\\ \mu;
\epsilon_{\text{max}} - \epsilon_{\text{mid}} = 333{,}333 - (-298{,}444) = 631{,}777\\ \mu;
\epsilon_{\text{mid}} - \epsilon_{\text{min}} = -298{,}444 - (-701{,}556) = 403{,}112\\ \mu.
Portanto a máxima é
\gamma_{max}^{(3D)} = 1{,}034{,}889\\ \mu.
A componente tensorial correspondente (meia engenharia) seria \dfrac{\gamma_{max}^{(3D)}}{2}\approx 517{,}444\\ \mu.

Resposta

(a) \epsilon_{1}=+333{,}333\\ \mu (direção: eixo z, normal à superfície); \epsilon_{2}=-298{,}444\\ \mu (direção no plano xy: \theta\approx -30{,}128^\circ medido a partir de x); \epsilon_{3}=-701{,}556\\ \mu (direção no plano xy: \theta\approx 59{,}872^\circ, perpendicular à anterior).
(b) Deformação de cisalhamento máxima no plano xy: \gamma_{max}^{(plane)} = 403{,}112\\ \mu.
(c) Deformação de cisalhamento máxima (3D): \gamma_{max}^{(3D)} = 1{,}034{,}889\\ \mu.

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