Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos
e
que sofreram uma rotação do ângulo
dado.
,
,
,
Passo 1
O enunciado pede: determinar o estado de deformação no sistema de eixos rotacionado
para um ângulo de rotação
(sentido anti-horário, indicado por
). Informações dadas (peguei estes números do enunciado / imagem):
-
-
-
(aqui é a deformação de engenharia, isto é, ) -
(rotação do eixo para no sentido indicado)
O que precisa ser encontrado:
,
e
correspondentes aos eixos rotacionados.
Passo 2
Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo
, as componentes de deformação (pequenas deformações lineares) transformam-se segundo fórmulas análogas às de tensões/estados planos. Usamos as fórmulas padrão de transformação para deformações de engenharia (onde a componente de cisalhamento é
):
Explicando cada termo:
-
é a média das deformações normais; essa média é invariante pela rotação (soma sempre igual a ). -
ajusta a assimetria entre e conforme a rotação. -
traduz a contribuição da deformação de cisalhamento na nova direção. - A fórmula para
dá a deformação de engenharia de cisalhamento no sistema rotacionado.
Essas fórmulas vêm de projetar os deslocamentos/ângulos nas novas direções e são as que se aplicam para pequenas deformações lineares.
Passo 3
Preparar cálculos: primeiro calculo
e
para
.
Anotações úteis (tudo em microstrains
):
Passo 4
Calcular
passo a passo substituindo na fórmula:
Agora substituo os valores trigonométricos:
Somando:
Arredondando de forma razoável para apresentação:
.
Passo 5
Calcular
passo a passo:
Usando os mesmos termos calculados:
Somando:
Arredondando:
.
(Verificação rápida:
, que é
, como esperado.)
Passo 6
Calcular
passo a passo:
Aqui
, logo:
Somando:
Arredondando:
.
Passo 7
Interpretação curta e dica para prova: observe que a soma das deformações normais se conserva (
). Se precisar, ao procurar as direções principais (direções em que
) resolveria
, mas aqui o ângulo é dado e usamos as fórmulas diretas. Sempre verifique as unidades (aqui tudo em
) e a consistência da soma.