Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x^{\prime} e y^{\prime} que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\boldsymbol{\epsilon}_{x} = +240 \mu, \boldsymbol{\epsilon}_{y} = +160 \mu, \gamma_{x y} = -150 \mu, \theta = 60^{\circ} \uparrow

Passo 1

O enunciado pede: determinar o estado de deformação no sistema de eixos rotacionado x'\!-\!y' para um ângulo de rotação \theta=60^\circ (sentido anti-horário, indicado por \uparrow). Informações dadas (peguei estes números do enunciado / imagem):
  • \epsilon_{x}=+240\\ \mu
  • \epsilon_{y}=+160\\ \mu
  • \gamma_{xy}=-150\\ \mu (aqui \gamma_{xy} é a deformação de engenharia, isto é, \gamma_{xy}=2\epsilon_{xy})
  • \theta=60^\circ (rotação do eixo x para x' no sentido indicado)
O que precisa ser encontrado: \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} correspondentes aos eixos rotacionados.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): quando giramos o sistema de coordenadas em um ângulo \theta, as componentes de deformação (pequenas deformações lineares) transformam-se segundo fórmulas análogas às de tensões/estados planos. Usamos as fórmulas padrão de transformação para deformações de engenharia (onde a componente de cisalhamento é \gamma_{xy}):
\epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta,
\epsilon_{y'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} - \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta,
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin 2\theta + \gamma_{xy}\cos 2\theta.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} é a média das deformações normais; essa média é invariante pela rotação (soma \epsilon_{x'}+\epsilon_{y'} sempre igual a \epsilon_x+\epsilon_y).
  • \dfrac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta ajusta a assimetria entre \epsilon_x e \epsilon_y conforme a rotação.
  • \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta traduz a contribuição da deformação de cisalhamento na nova direção.
  • A fórmula para \gamma_{x'y'} dá a deformação de engenharia de cisalhamento no sistema rotacionado.
Essas fórmulas vêm de projetar os deslocamentos/ângulos nas novas direções e são as que se aplicam para pequenas deformações lineares.

Passo 3

Preparar cálculos: primeiro calculo \cos 2\theta e \sin 2\theta para \theta=60^\circ.
2\theta = 120^\circ, \qquad \cos 2\theta = \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}, \qquad \sin 2\theta = \sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Anotações úteis (tudo em microstrains \mu):
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=\frac{240+160}{2} = 200\\ \mu,
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}=\frac{240-160}{2} = 40\\ \mu,
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-150}{2} = -75\\ \mu.

Passo 4

Calcular \epsilon_{x'} passo a passo substituindo na fórmula:
\epsilon_{x'} = 200 + 40\cos 2\theta + (-75)\sin 2\theta.
Agora substituo os valores trigonométricos:
40\cos 2\theta = 40\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -20\\ \mu,
(-75)\sin 2\theta = -75\cdot 0{,}8660254 \approx -64{,}951905\\ \mu.
Somando:
\epsilon_{x'} = 200 - 20 - 64{,}951905 \approx 115{,}048095\\ \mu.
Arredondando de forma razoável para apresentação: \epsilon_{x'} \approx 115{,}05\\ \mu.

Passo 5

Calcular \epsilon_{y'} passo a passo:
\epsilon_{y'} = 200 - 40\cos 2\theta - (-75)\sin 2\theta.
Usando os mesmos termos calculados:
-40\cos 2\theta = -(-20) = +20\\ \mu,
-(-75)\sin 2\theta = +64{,}951905\\ \mu.
Somando:
\epsilon_{y'} = 200 + 20 + 64{,}951905 \approx 284{,}951905\\ \mu.
Arredondando: \epsilon_{y'} \approx 284{,}95\\ \mu.
(Verificação rápida: \epsilon_{x'}+\epsilon_{y'}\approx 115{,}048095+284{,}951905=400\\ \mu, que é \epsilon_x+\epsilon_y, como esperado.)

Passo 6

Calcular \gamma_{x'y'} passo a passo:
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin 2\theta + \gamma_{xy}\cos 2\theta.
Aqui \epsilon_x-\epsilon_y = 80\\ \mu, logo:
-(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin 2\theta = -80\cdot 0{,}8660254 \approx -69{,}28203\\ \mu,
\gamma_{xy}\cos 2\theta = -150\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = +75\\ \mu.
Somando:
\gamma_{x'y'} \approx -69{,}28203 + 75 = 5{,}71797\\ \mu.
Arredondando: \gamma_{x'y'} \approx 5{,}72\\ \mu.

Passo 7

Interpretação curta e dica para prova: observe que a soma das deformações normais se conserva ( \epsilon_{x'}+\epsilon_{y'}=\epsilon_x+\epsilon_y). Se precisar, ao procurar as direções principais (direções em que \gamma_{x'y'}=0) resolveria \tan 2\theta_p = \dfrac{\gamma_{xy}}{\epsilon_x-\epsilon_y}, mas aqui o ângulo é dado e usamos as fórmulas diretas. Sempre verifique as unidades (aqui tudo em \mu) e a consistência da soma.

Resposta

\epsilon_{x'} \approx 115{,}05\\ \mu
\epsilon_{y'} \approx 284{,}95\\ \mu
\gamma_{x'y'} \approx 5{,}72\\ \mu

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