Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos
e
que sofreram uma rotação do ângulo
dado.
,
,
,
Passo 1
O enunciado dá o estado plano de deformação nas direções
e
e pede o estado de deformação nas direções
e
obtidas por uma rotação de ângulo
. Dados fornecidos:
-
-
-
(deformação de engenharia) -
(o enunciado/figura indica que o eixo está girado no sentido horário em relação a ; veremos a convenção de sinal abaixo)
O que se pede:
- Determinar
, e para os eixos rotacionados de .
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- As transformações de deformação para um plano (usando deformação de engenharia
) relacionam as componentes no sistema original com as do sistema rotacionado . As fórmulas padrão são:
- O que cada símbolo significa:
-
: deformações normais nas direções e (positivas se alongamento). -
: deformação de engenharia de cisalhamento no par de eixos (soma dos deslocamentos angulares, usualmente com sinal indicado no enunciado). -
: ângulo medido do eixo até o eixo . Atenção à convenção de sinais: as fórmulas acima assumem positivo quando a rotação é no sentido anti-horário (ccw). Na figura fornecida o eixo está rotacionado no sentido horário (para baixo) em relação a ; portanto, em notação matemática devemos tomar (isto é, rotação de no sentido horário equivale a no sentido anti-horário).
-
- Por que aparecem
e ? Intuitivamente, a transformação de componentes quadráticas (produtos e diferenças como ) produz dependência em . Na prática, usar essas fórmulas é o jeito direto e rápido em prova.
Passo 3
Determinar
e
para
.
Calcular os valores (valores aproximados; mantenha várias casas para reduzir erro):
Passo 4
Calcular quantidades intermediárias úteis (tornam as contas mais organizadas):
Passo 5
Calcular
substituindo nas fórmulas:
Agora substituir os valores numéricos de
e
:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Passo 6
Calcular
:
Substituindo os números:
As parcelas já calculadas:
Portanto
Passo 7
Calcular
(deformação de engenharia no novo par de eixos):
Aqui
. Substituindo:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 8
Cheque simples de consistência:
- A média
deve ser igual a . Verificando:
ok.
- Os sinais mostram que
ficou em tração (positivo) e em compressão (negativo) — apenas observação física.
Força final: números arredondados para duas casas decimais.