Para o estado plano de deformação dado, use o método da Seção 7.10 para determinar o estado plano de deformação associado aos eixos x^{\prime} e y^{\prime} que sofreram uma rotação do ângulo \theta dado.
\boldsymbol{\epsilon}_{x} = -240 \mu, \boldsymbol{\epsilon}_{y} = +320 \mu, \gamma_{x y} = -330 \mu, \theta = 65^{\circ} \downarrow

Passo 1

O enunciado dá o estado plano de deformação nas direções x e y e pede o estado de deformação nas direções x' e y' obtidas por uma rotação de ângulo \theta. Dados fornecidos:
  • \epsilon_x = -240\\ \mu
  • \epsilon_y = +320\\ \mu
  • \gamma_{xy} = -330\\ \mu (deformação de engenharia)
  • \theta = 65^\circ (o enunciado/figura indica que o eixo x' está girado no sentido horário em relação a x; veremos a convenção de sinal abaixo)
O que se pede:
  • Determinar \epsilon_{x'}, \epsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} para os eixos x',y' rotacionados de \theta.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • As transformações de deformação para um plano (usando deformação de engenharia \gamma_{xy}) relacionam as componentes no sistema original (x,y) com as do sistema rotacionado (x',y'). As fórmulas padrão são:
\epsilon_{x'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} + \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta + \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta,
\epsilon_{y'} = \frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} - \frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2}\cos 2\theta - \frac{\gamma_{xy}}{2}\sin 2\theta,
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin 2\theta + \gamma_{xy}\cos 2\theta.
  • O que cada símbolo significa:
    • \epsilon_x,\epsilon_y: deformações normais nas direções x e y (positivas se alongamento).
    • \gamma_{xy}: deformação de engenharia de cisalhamento no par de eixos x,y (soma dos deslocamentos angulares, usualmente com sinal indicado no enunciado).
    • \theta: ângulo medido do eixo x até o eixo x'. Atenção à convenção de sinais: as fórmulas acima assumem \theta positivo quando a rotação é no sentido anti-horário (ccw). Na figura fornecida o eixo x' está rotacionado no sentido horário (para baixo) em relação a x; portanto, em notação matemática devemos tomar \theta = -65^\circ (isto é, rotação de 65^\circ no sentido horário equivale a -65^\circ no sentido anti-horário).
  • Por que aparecem \cos 2\theta e \sin 2\theta? Intuitivamente, a transformação de componentes quadráticas (produtos e diferenças como \epsilon_x-\epsilon_y) produz dependência em 2\theta. Na prática, usar essas fórmulas é o jeito direto e rápido em prova.

Passo 3

Determinar \cos 2\theta e \sin 2\theta para \theta = -65^\circ.
2\theta = 2(-65^\circ) = -130^\circ.
Calcular os valores (valores aproximados; mantenha várias casas para reduzir erro):
\cos 2\theta = \cos(-130^\circ) = \cos 130^\circ = -\cos 50^\circ \approx -0{,}642788,
\sin 2\theta = \sin(-130^\circ) = -\sin 130^\circ = -\sin 50^\circ \approx -0{,}766044.

Passo 4

Calcular quantidades intermediárias úteis (tornam as contas mais organizadas):
\frac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2} = \frac{-240 + 320}{2} = \frac{80}{2} = 40\\ \mu,
\frac{\epsilon_x-\epsilon_y}{2} = \frac{-240 - 320}{2} = \frac{-560}{2} = -280\\ \mu,
\frac{\gamma_{xy}}{2} = \frac{-330}{2} = -165\\ \mu.

Passo 5

Calcular \epsilon_{x'} substituindo nas fórmulas:
\epsilon_{x'} = 40 + (-280)\cdot(\cos 2\theta) + (-165)\cdot(\sin 2\theta).
Agora substituir os valores numéricos de \cos 2\theta e \sin 2\theta:
\epsilon_{x'} = 40 + (-280)\cdot(-0{,}642788) + (-165)\cdot(-0{,}766044).
Fazendo as multiplicações:
(-280)\cdot(-0{,}642788) \approx 179{,}98064\\ \mu,
(-165)\cdot(-0{,}766044) \approx 126{,}39726\\ \mu.
Somando:
\epsilon_{x'} \approx 40 + 179{,}98064 + 126{,}39726 = 346{,}37790\\ \mu \approx 346{,}38\\ \mu.

Passo 6

Calcular \epsilon_{y'}:
\epsilon_{y'} = 40 - (-280)\cdot(\cos 2\theta) - (-165)\cdot(\sin 2\theta).
Substituindo os números:
\epsilon_{y'} = 40 - (-280)\cdot(-0{,}642788) - (-165)\cdot(-0{,}766044).
As parcelas já calculadas:
(-280)\cdot(-0{,}642788) \approx 179{,}98064,\qquad (-165)\cdot(-0{,}766044) \approx 126{,}39726.
Portanto
\epsilon_{y'} \approx 40 - 179{,}98064 - 126{,}39726 = -266{,}37790\\ \mu \approx -266{,}38\\ \mu.

Passo 7

Calcular \gamma_{x'y'} (deformação de engenharia no novo par de eixos):
\gamma_{x'y'} = -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin 2\theta + \gamma_{xy}\cos 2\theta.
Aqui \epsilon_x-\epsilon_y = -560. Substituindo:
\gamma_{x'y'} = -(-560)\cdot(-0{,}766044) + (-330)\cdot(-0{,}642788).
Calcule cada termo:
-(-560)\cdot(-0{,}766044) = 560\cdot(-0{,}766044) \approx -428{,}98464\\ \mu,
(-330)\cdot(-0{,}642788) \approx 212{,}11804\\ \mu.
Somando:
\gamma_{x'y'} \approx -428{,}98464 + 212{,}11804 = -216{,}86660\\ \mu \approx -216{,}87\\ \mu.

Passo 8

Cheque simples de consistência:
  • A média \dfrac{\epsilon_{x'}+\epsilon_{y'}}{2} deve ser igual a \dfrac{\epsilon_x+\epsilon_y}{2}=40\\ \mu. Verificando:
\frac{346{,}3779 + (-266{,}3779)}{2} = \frac{80}{2} = 40\\ \mu,
ok.
  • Os sinais mostram que x' ficou em tração (positivo) e y' em compressão (negativo) — apenas observação física.
Força final: números arredondados para duas casas decimais.

Resposta

\epsilon_{x'} = 346{,}38\\ \mu
\epsilon_{y'} = -266{,}38\\ \mu
\gamma_{x'y'} = -216{,}87\\ \mu

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