O estado plano de tensões ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço. Os esforços medidos foram
Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão de escoamento
, para o tipo de aço usado. Determinar:
a) círculo de Mohr determinando as tensões principais;
b) a máxima tensão de cisalhamento;
c) o coeficiente de segurança em relação ao escoamento, usando o Critério de Von Mises.
a) círculo de Mohr determinando as tensões principais;
b) a máxima tensão de cisalhamento;
c) o coeficiente de segurança em relação ao escoamento, usando o Critério de Von Mises.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes esforços (estados planos de tensão) e propriedades do material:
- Tensões normais e cisalhantes medidas:
-
-
-
-
, .
-
- Tensão de escoamento do aço:
.
O que se pede:
a) Construir o círculo de Mohr e determinar as tensões principais (valores numéricos das tensões principais).
b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento (valor numérico).
c) Calcular o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando o critério de Von Mises (fator de segurança = ).
a) Construir o círculo de Mohr e determinar as tensões principais (valores numéricos das tensões principais).
b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento (valor numérico).
c) Calcular o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando o critério de Von Mises (fator de segurança =
Passo 2
Entender o que é o círculo de Mohr e a fórmula das tensões principais (aulas rápidas):
- O círculo de Mohr é uma representação gráfica que relaciona as componentes do estado plano de tensão. Seus abscissas representam tensões normais e a ordenada tensões de cisalhamento (no sinal usado em Mohr).
- As tensões principais
e são os pontos do círculo onde a componente de cisalhamento é zero; numericamente obtêm-se por:
Explicando cada termo:
-
são as tensões normais medidas nas direções e . -
é a tensão de cisalhamento no plano . - A média
é o centro do círculo de Mohr no eixo das normais. - O radical é o raio do círculo (distância do centro aos pontos principais).
Passo 3
Aplicar a fórmula das tensões principais com os números dados (contas passo a passo):
Calcular a média:
Calcular a média:
Calcular a diferença metade:
Calcular o termo dentro da raiz:
Raiz:
Agora as tensões principais:
Observação importante: como
e não há cisalhamento fora do plano, o terceiro valor principal (em 3D) é
. Assim os três autovalores do tensor tensão são aproximadamente
.
Passo 4
Interpretando o círculo de Mohr (ligação entre números e geometria):
- O centro do círculo fica em
. - O raio do círculo (distância entre
e dividida por 2) é . - Os pontos do círculo correspondem a estados de tensão em planos rotacionados; os pontos mais à direita e à esquerda (onde
) são e calculados acima.
Passo 5
Máxima tensão de cisalhamento (explicação e cálculo):
- Em um estado de tensão geral 3D, a máxima tensão de cisalhamento absoluta é
, onde e são as maiores e menores tensões principais. - Aqui os três valores principais são
, , . O maior é e o menor é . - Então
(Isto coincide com o raio do círculo de Mohr calculado antes, como esperado.)
Passo 6
Critério de Von Mises — explicação e fórmula usada:
- O critério de escoamento de Von Mises diz que o material escoa se a tensão equivalente de Von Mises
atingir a tensão de escoamento . - Para um estado de tensão plano (com
e ) existe a fórmula reduzida:
Explicando termos:
é uma medida escalar das componentes tensionais que representa a energia de distorção; se
ocorre escoamento.
Passo 7
Calcular
com os valores dados (contas detalhadas):
Calcular cada termo:
Calcular cada termo:
Somando:
Raiz:
Passo 8
Cálculo do coeficiente de segurança segundo Von Mises:
- Definição que vamos usar: fator de segurança
. - Substituindo:
Interpretação rápida:
significa que, segundo Von Mises, o estado atual excede a resistência ao escoamento do material — ou seja, o material já teria escoado (ou vai escoar) sob esses esforços.