O estado plano de tensões ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina feito de aço. Os esforços medidos foram \sigma_{\mathrm{x}}=400, \sigma_{\mathrm{y}}=-100, \tau_{\mathrm{xy}}==120, \tau_{\mathrm{xz}}=\tau_{z z}=\sigma_{z}=0 Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão de escoamento \mathrm{Y}=250 \mathrm{MPa}, para o tipo de aço usado. Determinar:
a) círculo de Mohr determinando as tensões principais;
b) a máxima tensão de cisalhamento;
c) o coeficiente de segurança em relação ao escoamento, usando o Critério de Von Mises.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes esforços (estados planos de tensão) e propriedades do material:
  • Tensões normais e cisalhantes medidas:
    • \sigma_x = 400\\ \text{MPa}
    • \sigma_y = -100\\ \text{MPa}
    • \tau_{xy} = 120\\ \text{MPa}
    • \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0, \sigma_z = 0.
  • Tensão de escoamento do aço: Y = 250\\ \text{MPa}.
O que se pede:
a) Construir o círculo de Mohr e determinar as tensões principais (valores numéricos das tensões principais).
b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento (valor numérico).
c) Calcular o coeficiente de segurança em relação ao escoamento usando o critério de Von Mises (fator de segurança = Y/\sigma_{\mathrm{vm}}).

Passo 2

Entender o que é o círculo de Mohr e a fórmula das tensões principais (aulas rápidas):
  • O círculo de Mohr é uma representação gráfica que relaciona as componentes do estado plano de tensão. Seus abscissas representam tensões normais e a ordenada tensões de cisalhamento (no sinal usado em Mohr).
  • As tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 são os pontos do círculo onde a componente de cisalhamento é zero; numericamente obtêm-se por:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
Explicando cada termo:
  • \sigma_x,\sigma_y são as tensões normais medidas nas direções x e y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy.
  • A média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o centro do círculo de Mohr no eixo das normais.
  • O radical é o raio do círculo (distância do centro aos pontos principais).

Passo 3

Aplicar a fórmula das tensões principais com os números dados (contas passo a passo):
Calcular a média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{400+(-100)}{2}=\frac{300}{2}=150\\ \text{MPa}.
Calcular a diferença metade:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{400-(-100)}{2}=\frac{500}{2}=250\\ \text{MPa}.
Calcular o termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=250^2+120^2=62500+14400=76900\\ (\text{MPa}^2).
Raiz:
\sqrt{76900}\approx 277{,}35\\ \text{MPa}.
Agora as tensões principais:
\sigma_1=150+277{,}35\approx 427{,}35\\ \text{MPa},
\sigma_2=150-277{,}35\approx -127{,}35\\ \text{MPa}.
Observação importante: como \sigma_z=0 e não há cisalhamento fora do plano, o terceiro valor principal (em 3D) é \sigma_3=0. Assim os três autovalores do tensor tensão são aproximadamente \{427{,}35,\\\ -127{,}35,\\\ 0\}\\ \text{MPa}.

Passo 4

Interpretando o círculo de Mohr (ligação entre números e geometria):
  • O centro do círculo fica em \sigma_{\text{centro}}=150\\ \text{MPa}.
  • O raio do círculo (distância entre \sigma_1 e \sigma_2 dividida por 2) é R\approx 277{,}35\\ \text{MPa}.
  • Os pontos do círculo correspondem a estados de tensão em planos rotacionados; os pontos mais à direita e à esquerda (onde \tau=0) são \sigma_1 e \sigma_2 calculados acima.

Passo 5

Máxima tensão de cisalhamento (explicação e cálculo):
  • Em um estado de tensão geral 3D, a máxima tensão de cisalhamento absoluta é \displaystyle \tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}, onde \sigma_{\max} e \sigma_{\min} são as maiores e menores tensões principais.
  • Aqui os três valores principais são \sigma_1\approx 427{,}35\\ \text{MPa}, \sigma_2\approx -127{,}35\\ \text{MPa}, \sigma_3=0. O maior é \sigma_1 e o menor é \sigma_2.
  • Então
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=\frac{427{,}35-(-127{,}35)}{2}=\frac{554{,}7}{2}=277{,}35\\ \text{MPa}.
(Isto coincide com o raio do círculo de Mohr calculado antes, como esperado.)

Passo 6

Critério de Von Mises — explicação e fórmula usada:
  • O critério de escoamento de Von Mises diz que o material escoa se a tensão equivalente de Von Mises \sigma_{\mathrm{vm}} atingir a tensão de escoamento Y.
  • Para um estado de tensão plano (com \sigma_z=0 e \tau_{xz}=\tau_{yz}=0) existe a fórmula reduzida:
\sigma_{\mathrm{vm}}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}.
Explicando termos: \sigma_{\mathrm{vm}} é uma medida escalar das componentes tensionais que representa a energia de distorção; se \sigma_{\mathrm{vm}}\ge Y ocorre escoamento.

Passo 7

Calcular \sigma_{\mathrm{vm}} com os valores dados (contas detalhadas):
Calcular cada termo:
\sigma_x^2=400^2=160000\\ (\text{MPa}^2),
\sigma_y^2=(-100)^2=10000\\ (\text{MPa}^2),
-\sigma_x\sigma_y=-(400)(-100)=+40000\\ (\text{MPa}^2),
3\tau_{xy}^2=3\cdot 120^2=3\cdot14400=43200\\ (\text{MPa}^2).
Somando:
160000+40000+10000+43200=253200\\ (\text{MPa}^2).
Raiz:
\sigma_{\mathrm{vm}}=\sqrt{253200}\approx 503{,}19\\ \text{MPa}.

Passo 8

Cálculo do coeficiente de segurança segundo Von Mises:
  • Definição que vamos usar: fator de segurança N=\dfrac{Y}{\sigma_{\mathrm{vm}}}.
  • Substituindo:
N=\frac{250}{503{,}19}\approx 0{,}497.
Interpretação rápida: N<1 significa que, segundo Von Mises, o estado atual excede a resistência ao escoamento do material — ou seja, o material já teria escoado (ou vai escoar) sob esses esforços.

Resposta

\sigma_1\approx 427{,}35\\ \text{MPa},\\ \sigma_2\approx -127{,}35\\ \text{MPa} (e \sigma_3=0\\ \text{MPa})
\tau_{\max}\approx 277{,}35\\ \text{MPa}
N\\ (\text{Von Mises})\approx 0{,}497

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