Medidas na superficie de uma chapa deformada após a retirada do carregamento indicaram \varepsilon_{1}=0,154 e \varepsilon_{2}=0,070. Assuma que o critério de Von Mises é apropriado e que a razão \alpha=\sigma_{y} / \sigma_{x} se mantém constante durante o carregamento. Foi verificado que para a liga em questão a relação tensão deformação pode ser aproximada pela expressão \sigma=140+185 \varepsilon.
  • Calcule a deformação efetiva;
  • Calcule a tensão efetiva;
  • Qual o valor da maior tensão principal?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei os números direto do enunciado):
  • As duas deformações principais medidas na superfície, após retirada do carregamento, são \varepsilon_{1}=0,154 e \varepsilon_{2}=0,070.
  • Assume-se que o critério de Von Mises é apropriado.
  • Durante o carregamento a razão \alpha=\sigma_{y}/\sigma_{x} se mantém constante (carregamento proporcional).
  • Para a liga a relação tensão–deformação pode ser aproximada por \sigma=140+185\,\varepsilon. Aqui a tensão equivalente \sigma está em MPa e \varepsilon é a deformação efetiva correspondente.
    O que o problema pede:
  1. Calcular a deformação efetiva (equivalente) \varepsilon_{\text{eq}};
  2. Calcular a tensão efetiva (equivalente) \sigma_{\text{eq}};
  3. Determinar o valor da maior tensão principal \sigma_1.

Passo 2

Observações físicas e hipóteses que vamos usar (explicando por que são válidas):
  • As medições foram feitas após retirada do carregamento, portanto os valores \varepsilon_1 e \varepsilon_2 são as deformações plásticas residuais principais (a parte elástica foi recuperada).
  • Metais em grande plasticidade têm, normalmente, plasticidade incompressível: a parte plástica da deformação é deviatorica, logo a soma das deformações plásticas principais é nula. Usaremos a hipótese de incompressibilidade plástica:
\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3=0.
Essa hipótese é usual e bastante aceitável para ligas metálicas em deformação plástica.
  • Para o critério de Von Mises o conceito de deformação equivalente (análogo à tensão equivalente de Von Mises) é
\varepsilon_{\text{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+(\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2+(\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2\big]}.
Essa expressão tem a propriedade desejável de, no caso uniaxial, dar \varepsilon_{\text{eq}}=\varepsilon.
  • Em carregamento proporcional associado a Von Mises, os incrementos de deformação plástica são proporcionais ao deviador das tensões; daí vale a proporcionalidade entre diferenças de deformação e diferenças de tensão, que usaremos depois para relacionar \alpha com as deformações:
\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\sigma_1-\sigma_2}=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_3}{\sigma_2-\sigma_3}.
No nosso caso de chapa fina tomamos \sigma_3=0 (estado de tensão plano) durante o carregamento.

Passo 3

Calcular \varepsilon_3 usando a incompressibilidade plástica:
\varepsilon_3= -(\varepsilon_1+\varepsilon_2) = -(0,154+0,070) = -0,224.

Passo 4

Calcular a deformação efetiva \varepsilon_{\text{eq}} usando a fórmula de Von Mises em termos das deformações principais. Primeiro calcule as diferenças:
\varepsilon_1-\varepsilon_2 = 0,154-0,070 = 0,084,
\varepsilon_2-\varepsilon_3 = 0,070-(-0,224) = 0,294,
\varepsilon_3-\varepsilon_1 = -0,224-0,154 = -0,378.
Agora aplicar a fórmula
\varepsilon_{\text{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[0{,}084^{2}+0{,}294^{2}+(-0{,}378)^{2}\big]}.
Calcule os quadrados e a raiz:
0{,}084^{2}=0{,}007056,\qquad 0{,}294^{2}=0{,}086436,\qquad 0{,}378^{2}=0{,}142884,
soma =0{,}236376, metade =0{,}118188, portanto
\varepsilon_{\text{eq}}=\sqrt{0{,}118188}\approx 0,3439\approx 0,344.

Passo 5

Calcular a tensão efetiva \sigma_{\text{eq}} usando a relação fornecida \sigma=140+185\,\varepsilon. Aqui \varepsilon é a deformação efetiva encontrada:
\sigma_{\text{eq}}=140+185\cdot \varepsilon_{\text{eq}}=140+185\cdot 0{,}3439.
Calcule:
185\cdot 0{,}3439\approx 63{,}597,
logo
\sigma_{\text{eq}}\approx 140+63{,}597=203{,}597\\ \text{MPa}\approx 203{,}6\\ \text{MPa}.

Passo 6

Determinar a razão \alpha (é possível obtê-la a partir das deformações e da regra de fluxo associada). Usando a proporcionalidade entre diferenças de deformação e diferenças de tensão, com \sigma_2=\alpha\sigma_1 e \sigma_3=0, obtemos (simplificando a relação):
\alpha=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_3}{\varepsilon_1-\varepsilon_3}.
Substituindo os valores:
\alpha=\frac{0{,}294}{0{,}378}\approx 0{,}7778.

Passo 7

Encontrar a maior tensão principal \sigma_1. A tensão equivalente de Von Mises em termos das tensões principais é
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
Com \sigma_2=\alpha\sigma_1 e \sigma_3=0 isso simplifica para
\sigma_{\text{eq}}=\sigma_1\sqrt{1+\alpha^{2}-\alpha}.
Logo
\sigma_1=\frac{\sigma_{\text{eq}}}{\sqrt{1+\alpha^{2}-\alpha}}.
Calcule o denominador com \alpha=0{,}7778:
1+\alpha^{2}-\alpha \approx 1+0{,}6049-0{,}7778=0{,}8271,
\sqrt{0{,}8271}\approx 0{,}9095.
Portanto
\sigma_1\approx \frac{203{,}597}{0{,}9095}\approx 223{,}9\\ \text{MPa}\approx 224\\ \text{MPa}.

Resposta

\varepsilon_{\text{eq}} \approx 0,344
\sigma_{\text{eq}} \approx 203{,}6\\ \text{MPa}
\sigma_{1} \approx 224\\ \text{MPa}

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