Medidas na superficie de uma chapa deformada após a retirada do carregamento indicaram
e
. Assuma que o critério de Von Mises é apropriado e que a razão
se mantém constante durante o carregamento. Foi verificado que para a liga em questão a relação tensão deformação pode ser aproximada pela expressão
.
- Calcule a deformação efetiva;
- Calcule a tensão efetiva;
- Qual o valor da maior tensão principal?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei os números direto do enunciado):
- As duas deformações principais medidas na superfície, após retirada do carregamento, são
e . - Assume-se que o critério de Von Mises é apropriado.
- Durante o carregamento a razão
se mantém constante (carregamento proporcional). - Para a liga a relação tensão–deformação pode ser aproximada por
. Aqui a tensão equivalente está em MPa e é a deformação efetiva correspondente.
O que o problema pede:
- Calcular a deformação efetiva (equivalente)
; - Calcular a tensão efetiva (equivalente)
; - Determinar o valor da maior tensão principal
.
Passo 2
Observações físicas e hipóteses que vamos usar (explicando por que são válidas):
- As medições foram feitas após retirada do carregamento, portanto os valores
e são as deformações plásticas residuais principais (a parte elástica foi recuperada). - Metais em grande plasticidade têm, normalmente, plasticidade incompressível: a parte plástica da deformação é deviatorica, logo a soma das deformações plásticas principais é nula. Usaremos a hipótese de incompressibilidade plástica:
Essa hipótese é usual e bastante aceitável para ligas metálicas em deformação plástica.
- Para o critério de Von Mises o conceito de deformação equivalente (análogo à tensão equivalente de Von Mises) é
Essa expressão tem a propriedade desejável de, no caso uniaxial, dar
.
- Em carregamento proporcional associado a Von Mises, os incrementos de deformação plástica são proporcionais ao deviador das tensões; daí vale a proporcionalidade entre diferenças de deformação e diferenças de tensão, que usaremos depois para relacionar
com as deformações:
No nosso caso de chapa fina tomamos
(estado de tensão plano) durante o carregamento.
Passo 3
Calcular
usando a incompressibilidade plástica:
Passo 4
Calcular a deformação efetiva
usando a fórmula de Von Mises em termos das deformações principais. Primeiro calcule as diferenças:
Agora aplicar a fórmula
Calcule os quadrados e a raiz:
soma
, metade
, portanto
Passo 5
Calcular a tensão efetiva
usando a relação fornecida
. Aqui
é a deformação efetiva encontrada:
Calcule:
logo
Passo 6
Determinar a razão
(é possível obtê-la a partir das deformações e da regra de fluxo associada). Usando a proporcionalidade entre diferenças de deformação e diferenças de tensão, com
e
, obtemos (simplificando a relação):
Substituindo os valores:
Passo 7
Encontrar a maior tensão principal
. A tensão equivalente de Von Mises em termos das tensões principais é
Com
e
isso simplifica para
Logo
Calcule o denominador com
:
Portanto