3- As dimensões iniciais de um corpo de prova são comprimento 50 mm , largura 12,5 \mathrm{~mm} e espessura 0,8 \mathrm{~mm}. A força medida no escoamento do material foi de 1,791 \mathrm{kN}. Num determinado ponto A da curva tensão x deformação a carga medida foi 2,059 \mathrm{kN} e o aumento no comprimento foi de 1,22 \mathrm{~mm}. A máxima carga observada foi de 2,94 \mathrm{kN} ocorrida quando o corpo de prova havia aumentado de 13,55 \mathrm{~mm}. O corpo de prova falhou quando a extensão do corpo de prova havia atingido 22,69 \mathrm{~mm}.
Determine:
a) Área da seção transversal do corpo de prova;
b) A tensão de escoamento ;
c) A tensão limite de resistência \mathrm{s}_{\text {max }};
d) A elongação total em %;
e) A tensão verdadeira no ponto de máxima carga;
f) a deformação verdadeira no ponto de \mathrm{s}_{\max };

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (todos os números abaixo vieram do enunciado).
Dados do corpo de prova:
  • comprimento inicial L_0 = 50\\ \text{mm};
  • largura b = 12{,}5\\ \text{mm};
  • espessura t = 0{,}8\\ \text{mm};
  • carga medida no escoamento F_{\text{esco}} = 1{,}791\\ \text{kN};
  • no ponto A a carga F_A = 2{,}059\\ \text{kN} e o aumento de comprimento \Delta L_A = 1{,}22\\ \text{mm};
  • carga máxima F_{\max} = 2{,}94\\ \text{kN} ocorreu quando o aumento de comprimento era \Delta L_{\max} = 13{,}55\\ \text{mm};
  • fratura (falha) ocorreu com \Delta L_{\text{fr}} = 22{,}69\\ \text{mm}.
O enunciado pede:
a) área da seção transversal inicial A_0;
b) tensão de escoamento (tensão nominal/engenharia correspondente à carga de escoamento);
c) tensão limite de resistência \mathrm{s}_{\max} (tensão de engenharia no máximo da carga);
d) elongação total em % (deformação de engenharia total até a fratura);
e) tensão verdadeira no ponto de máxima carga;
f) deformação verdadeira no ponto de \mathrm{s}_{\max}.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal inicial A_0.
Explicação didática: a seção transversal aqui é retangular com largura b e espessura t. A área é simplesmente produto dessas duas dimensões:
A_0 = b \cdot t.
Substituindo os valores (todos números em TeX):
A_0 = 12{,}5\\ \text{mm} \cdot 0{,}8\\ \text{mm} = 10{,}0\\ \text{mm}^2.
Portanto a área inicial é 10{,}0\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Calcular a tensão de escoamento (tensão de engenharia correspondente à carga de escoamento).
Conceito e fórmula: a tensão nominal (engenharia) é definida como força dividida pela área inicial:
\sigma = \frac{F}{A_0},
onde F é a força aplicada (em N) e A_0 a área inicial (em \text{mm}^2). Quando se usa N e \text{mm}^2, o resultado sai em \text{N}/\text{mm}^2, que é igual a \text{MPa}.
Primeiro converter a força de kN para N e aplicar:
F_{\text{esco}} = 1{,}791\\ \text{kN} = 1791\\ \text{N}.
Então
\sigma_{\text{esco}} = \frac{1791\\ \text{N}}{10{,}0\\ \text{mm}^2} = 179{,}1\\ \text{MPa}.

Passo 4

Calcular a tensão limite de resistência \mathrm{s}_{\max} (tensão de engenharia no máximo da carga).
Mesma fórmula da tensão de engenharia, usando F_{\max}:
F_{\max} = 2{,}94\\ \text{kN} = 2940\\ \text{N}.
\sigma_{\max} = \frac{2940\\ \text{N}}{10{,}0\\ \text{mm}^2} = 294{,}0\\ \text{MPa}.

Passo 5

Calcular a elongação total em % (deformação de engenharia total até a fratura).
Definição e fórmula: deformação de engenharia (ou elongação relativa) é a razão entre o aumento de comprimento e o comprimento inicial:
\varepsilon_{\text{eng}} = \frac{\Delta L}{L_0}.
Para a fratura usamos \Delta L_{\text{fr}} = 22{,}69\\ \text{mm} e L_0 = 50\\ \text{mm}:
\varepsilon_{\text{eng,tot}} = \frac{22{,}69}{50} = 0{,}4538.
Para expressar em porcentagem multiplicamos por 100\%:
\text{Elongação total} = 0{,}4538 \times 100\% = 45{,}38\%.çã

Passo 6

Calcular a tensão verdadeira no ponto de máxima carga.
Conceito: tensão verdadeira (ou tensão real) leva em conta a área instantânea A naquele instante:
\sigma_{\text{true}} = \frac{F}{A_{\text{inst}}}.
Para deformação uniforme e assumindo conservação de volume plástico (aproximação usual para metais durante deformação plástica antes de grande estricção localizada), a área instantânea relaciona-se com a deformação de engenharia axial pelo fato de A_{\text{inst}} = \dfrac{A_0 L_0}{L} = \dfrac{A_0}{1+\varepsilon_{\text{eng}}}. Assim obtém-se a relação prática frequentemente usada antes do estricção severa:
\sigma_{\text{true}} = \sigma_{\text{eng}}\,(1+\varepsilon_{\text{eng}}),
onde \sigma_{\text{eng}} = F/A_0 e \varepsilon_{\text{eng}} = \Delta L / L_0.
Cálculo numérico no ponto de carga máxima:
Primeiro a deformação de engenharia no ponto \max:
\varepsilon_{\text{eng,max}} = \frac{\Delta L_{\max}}{L_0} = \frac{13{,}55}{50} = 0{,}271.
O valor da tensão de engenharia no máximo foi calculado no Passo 4: \sigma_{\max} = 294{,}0\\ \text{MPa}.
Aplicando a relação:
\sigma_{\text{true,max}} = 294{,}0\\ \text{MPa} \times (1 + 0{,}271) = 294{,}0 \times 1{,}271 = 373{,}674\\ \text{MPa}.
Arredondando de forma razoável, \sigma_{\text{true,max}} \approx 373{,}67\\ \text{MPa}.

Passo 7

Calcular a deformação verdadeira no ponto de \mathrm{s}_{\max}.
Conceito: deformação verdadeira (logarítmica) é definida por
\varepsilon_{\text{true}} = \ln(1+\varepsilon_{\text{eng}}),
onde \varepsilon_{\text{eng}} é a deformação de engenharia no mesmo ponto.
Usando \varepsilon_{\text{eng,max}} = 0{,}271:
\varepsilon_{\text{true,max}} = \ln(1 + 0{,}271) = \ln(1{,}271) \approx 0{,}240.
Se quiser em porcentagem seria aproximadamente 24{,}0\%, mas a deformação verdadeira normalmente se dá em valor adimensional ( 0{,}240).

Resposta

a) 10{,}0\\ \text{mm}^2
b) 179{,}1\\ \text{MPa}
c) 294{,}0\\ \text{MPa}
d) 45{,}38\\ \%
e) 373{,}67\\ \text{MPa}
f) 0{,}240

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