O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
, onde
e
são os números quânticos e
e
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A função de onda do elétron é
e os quatro números quânticos aparecem explicitamente: , , e . - A energia de um estado depende apenas de
, dada por - O enunciado pede: “Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?”
Passo 2
Vamos identificar claramente o que cada número quântico pode assumir (essas são as regras que o enunciado implica ao usar
):
-
é o número quântico principal e toma valores inteiros positivos: . No problema está fixado . -
é o número quântico azimutal (ou de momento angular orbital) e, para um dado , seus valores permitidos são inteiros . -
é o número quântico magnético; para um dado seus valores são inteiros . -
é a projeção do spin do elétron; para o elétron (spin ) os valores permitidos são e (duas possibilidades).
Passo 3
Contagem das possibilidades de
para
:
- Como
, para temos . - Portanto há
valores possíveis de .
Passo 4
Contagem das possibilidades de
para cada
:
- Para um dado
, os valores de vão de até , ou seja, são exatamente valores. - Exemplos pequenos para fixar a ideia:
- Se
então (total possibilidade). - Se
então (total possibilidades). - Se
então possibilidades, e assim por diante.
- Se
Passo 5
Agora somamos as possibilidades de
para todos os
admitidos em um dado
. O número total de estados orbitais (ignorando spin) para um nível
é
Vamos calcular essa soma de forma algébrica:
Sabendo que
e que
, obtemos
Ou seja, para cada
existe exatamente
estados orbitais (contando todas as combinações de
e
).
Passo 6
Aplicando isso ao caso
:
- O número de estados orbitais é
, isto é . Portanto o total de estados orbitais é . (aqui o número veio de calcular com ).
Passo 7
Agora incluímos o spin. Para cada estado orbital (cada combinação de
e
) existem duas possibilidades de
(
e
). Assim o número total de estados quânticos de ocupação para um dado
é
No caso
isso dá
.
Passo 8
Para fixar a intuição com exemplos menores:
- Se
então estado orbital e com spin temos estados no total — combina com a ideia conhecida do nível 1s que comporta duas ocupações. - Se
então orbitais e, multiplicando por 2 devido ao spin, temos estados no total.