O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
\Psi_{n, l, m_{l}, m_{s}}(r, \theta, \varphi)
, onde
n, l, m_{l}
e
m_{s}
são os números quânticos e
r, \theta
e
\varphi
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
E_{n}=-\frac{k e^{2}}{2 a_{0}} \frac{1}{n^{2}}
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
n=7
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A função de onda do elétron é \Psi_{n,l,m_{l},m_{s}}(r,\theta,\varphi) e os quatro números quânticos aparecem explicitamente: n, l, m_{l} e m_{s}.
  • A energia de um estado depende apenas de n, dada por E_{n}=-\frac{k e^{2}}{2 a_{0}}\frac{1}{n^{2}}.
  • O enunciado pede: “Quantos estados quânticos de ocupação existem para \,n=7\, levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?”

Passo 2

Vamos identificar claramente o que cada número quântico pode assumir (essas são as regras que o enunciado implica ao usar \Psi_{n,l,m_{l},m_{s}}):
  • \,n é o número quântico principal e toma valores inteiros positivos: \,n=1,2,3,\dots. No problema está fixado \,n=7.
  • \,l é o número quântico azimutal (ou de momento angular orbital) e, para um dado \,n, seus valores permitidos são inteiros \,l=0,1,2,\dots,n-1.
  • \,m_{l} é o número quântico magnético; para um dado \,l seus valores são inteiros \,m_{l}=-l,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,l.
  • \,m_{s} é a projeção do spin do elétron; para o elétron (spin \,s=\tfrac{1}{2}) os valores permitidos são \,m_{s}=+\tfrac{1}{2} e \,m_{s}=-\tfrac{1}{2} (duas possibilidades).

Passo 3

Contagem das possibilidades de \,l para \,n=7:
  • Como \,l=0,1,\dots,n-1, para \,n=7 temos \,l=0,1,2,3,4,5,6.
  • Portanto há 7 valores possíveis de \,l.

Passo 4

Contagem das possibilidades de \,m_{l} para cada \,l:
  • Para um dado \,l, os valores de \,m_{l} vão de -l até +l, ou seja, são exatamente 2l+1 valores.
  • Exemplos pequenos para fixar a ideia:
    • Se \,l=0 então \,m_{l}=0 (total 2\cdot0+1=1 possibilidade).
    • Se \,l=1 então \,m_{l}=-1,0,+1 (total 3 possibilidades).
    • Se \,l=2 então 5 possibilidades, e assim por diante.

Passo 5

Agora somamos as possibilidades de \,m_{l} para todos os \,l admitidos em um dado \,n. O número total de estados orbitais (ignorando spin) para um nível \,n é
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1).
Vamos calcular essa soma de forma algébrica:
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1} l+\sum_{l=0}^{n-1} 1.
Sabendo que \sum_{l=0}^{n-1} l=\dfrac{(n-1)n}{2} e que \sum_{l=0}^{n-1}1=n, obtemos
2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+n = n(n-1)+n = n^{2}.
Ou seja, para cada \,n existe exatamente n^{2} estados orbitais (contando todas as combinações de l e m_{l}).

Passo 6

Aplicando isso ao caso \,n=7:
  • O número de estados orbitais é \,n^{2}, isto é \,7^{2}. Portanto o total de estados orbitais é \,49. (aqui o número 49 veio de calcular \,n^{2} com \,n=7).

Passo 7

Agora incluímos o spin. Para cada estado orbital (cada combinação de l e m_{l}) existem duas possibilidades de \,m_{s} ( +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}). Assim o número total de estados quânticos de ocupação para um dado \,n é
\text{total} = 2 \times n^{2}.
No caso \,n=7 isso dá \,2\times 7^{2}.

Passo 8

Para fixar a intuição com exemplos menores:
  • Se \,n=1 então n^{2}=1 estado orbital e com spin temos 2 estados no total — combina com a ideia conhecida do nível 1s que comporta duas ocupações.
  • Se \,n=2 então n^{2}=4 orbitais e, multiplicando por 2 devido ao spin, temos 8 estados no total.

Resposta

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