Em um estágio de potência comutado a, V_{\mathrm{d}}=175 \mathrm{~V}, \hat{V}_{\text {tri }}=5 \mathrm{~V} e f_{\mathrm{s}}=20 \mathrm{kHz}. Calcule os valores do sinal de controle v_{\text {cont }, a}(t) e do ciclo últil de trabalho d_{A, a}(t) durante o qual a chave está em sua posição superior, para os seguintes valores da tensão elétrica média de saída: \bar{v}_{a N}(t)=125 \mathrm{~V} e \bar{v}_{a N}(t)=50 \mathrm{~V}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Dados fornecidos: V_{\mathrm{d}}=175\\ \mathrm{V},\quad \hat{V}_{\text{tri}}=5\\ \mathrm{V},\quad f_{s}=20\\ \mathrm{kHz}.
  • Perguntas: para cada um dos dois valores de tensão média de saída \bar{v}_{aN}(t) devemos calcular:
    • o sinal de controle \,v_{\text{cont},a}(t)\,;
    • o ciclo útil d_{A,a}(t) (fração do período em que a chave fica na posição superior).
  • Valores a considerar:
    • \bar{v}_{aN}(t)=125\\ \mathrm{V};
    • \bar{v}_{aN}(t)=50\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Relação entre tensão média de saída e ciclo útil (ideia física, passo a passo).
  • Pense no período de comutação T_{s}=1/f_{s}. Durante uma comutação típica a chave superior conduz por um tempo d\,T_{s} (nível ligado) e fica desligada por (1-d)T_{s} (nível zero). Se a posição superior conecta a saída ao barramento V_{\mathrm{d}} e a posição inferior a 0, a média no período é a média de um pulso: \bar{v}_{aN} = \frac{1}{T_{s}}\Big(V_{\mathrm{d}}\cdot (dT_{s}) + 0\cdot((1-d)T_{s})\Big) = d\,V_{\mathrm{d}}.
  • Portanto, para obter uma média desejada \bar{v}_{aN} basta escolher o ciclo d = \frac{\bar{v}_{aN}}{V_{\mathrm{d}}}.

Passo 3

Relação entre o sinal de controle v_{\text{cont}} e o ciclo d usando portadora triangular simétrica.
  • Modelo de modulação por comparação: a portadora triangular varia simetricamente entre -\hat{V}_{\text{tri}} e +\hat{V}_{\text{tri}}. A chave superior é ativada quando v_{\text{cont}}>v_{\text{tri}}. A fração do tempo em que v_{\text{tri}}<v_{\text{cont}} é proporcional à posição de v_{\text{cont}} dentro do intervalo do triângulo.
  • Geometricamente, para uma portadora simétrica a relação entre d e v_{\text{cont}} é linear: d=\frac{1}{2}+\frac{v_{\text{cont}}}{2\hat{V}_{\text{tri}}}.(Se v_{\text{cont}}=0 então d=0{,}5; se v_{\text{cont}}=+\hat{V}_{\text{tri}} então d=1; se v_{\text{cont}}=-\hat{V}_{\text{tri}} então d=0.)
  • Isolando v_{\text{cont}}: v_{\text{cont}} = (2d-1)\,\hat{V}_{\text{tri}}.

Passo 4

Calcule o ciclo útil d para \bar{v}_{aN}(t)=125\\ \mathrm{V}.
  • Usando d=\bar{v}_{aN}/V_{\mathrm{d}}: d=\frac{125}{175}=\frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.

Passo 5

Calcule v_{\text{cont},a}(t) correspondente ao d do Passo 4.
  • Use v_{\text{cont}}=(2d-1)\hat{V}_{\text{tri}}. Substituindo d=\tfrac{5}{7} e \hat{V}_{\text{tri}}=5\\ \mathrm{V}: v_{\text{cont}} =\Big(2\cdot\frac{5}{7}-1\Big)\cdot 5 =\Big(\frac{10}{7}-1\Big)\cdot 5 =\frac{3}{7}\cdot 5 =\frac{15}{7}\\ \mathrm{V}\approx 2{,}142857\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcule o ciclo útil d para \bar{v}_{aN}(t)=50\\ \mathrm{V}.
  • Usando d=\bar{v}_{aN}/V_{\mathrm{d}}: d=\frac{50}{175}=\frac{2}{7}\approx 0{,}2857143.

Passo 7

Calcule v_{\text{cont},a}(t) correspondente ao d do Passo 6.
  • Use v_{\text{cont}}=(2d-1)\hat{V}_{\text{tri}}. Substituindo d=\tfrac{2}{7}: v_{\text{cont}}=\Big(2\cdot\frac{2}{7}-1\Big)\cdot 5 =\Big(\frac{4}{7}-1\Big)\cdot 5 =-\frac{3}{7}\cdot 5 =-\frac{15}{7}\\ \mathrm{V}\approx -2{,}142857\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Observações finais rápidas e incentivo.
  • Resumindo: a relação é simples e linear. Dá para fazer na prova rapidamente: primeiro d=\bar{v}/V_d, depois v_{\text{cont}}=(2d-1)\hat{V}_{\text{tri}} se a portadora é simétrica.
  • Boa! Você já tem os números exatos e aproximados; isso é o que costumam pedir em exercícios de PWM com portadora triangular simétrica. Vai dar tudo certo na prova — respira e repete esses passos.

Resposta

\bar{v}_{aN}=125\\ \mathrm{V}:\\ v_{\text{cont},a}(t)=2{,}142857\\ \mathrm{V},\\ d_{A,a}(t)=0{,}7142857
\bar{v}_{aN}=50\\ \mathrm{V}:\\ v_{\text{cont},a}(t)=-2{,}142857\\ \mathrm{V},\\ d_{A,a}(t)=0{,}2857143

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