Um estaleiro naval está projetando a seção transversal do casco de uma embarcaçāo para minimizar a resistência total ao avanço na água. A resistencia total é composta por dois componentes: resistência por atrito e resistência por formaçāo de ondas.
A resistência por atrito é proporcional ao quadrado da área molhada, que por sua vez é proporcional ao quadrado da profundidade
do casco (em metros). A resistência por ondas é inversamente proporcional à profundidade do casco.
Dados experimentais mostram que a resistência por atrito contribui
unidades e a resistência por ondas contribui com
unidades para a resistência total.
(a) Escreva a funçāo
que representa a resistência total ao avanço.
(b) Determine a profundidade ótima do casco que minimiza a resistência total.
(c) Calcule o valor da resistencia minima.
A resistência por atrito é proporcional ao quadrado da área molhada, que por sua vez é proporcional ao quadrado da profundidade
Dados experimentais mostram que a resistência por atrito contribui
(a) Escreva a funçāo
(b) Determine a profundidade ótima do casco que minimiza a resistência total.
(c) Calcule o valor da resistencia minima.
Passo 1
O enunciado dá duas contribuições para a resistência total em função da profundidade
(em metros):
- resistência por atrito:
(unidades de resistência); - resistência por formação de ondas:
(mesmas unidades).
O que se pede:
(a) escrever a função da resistência total;
(b) determinar a profundidade que minimiza
;
(c) calcular o valor da resistência mínima.
(a) escrever a função
(b) determinar a profundidade
(c) calcular o valor da resistência mínima.
Observação imediata: como aparece
, só faz sentido físico e matemático considerar
.
Passo 2
Montando a função resistência total como soma das duas contribuições dadas pelo enunciado, temos:
Passo 3
Estratégia para encontrar o mínimo (explicação didática):
- Para uma função diferenciável em
, pontos candidatos a mínimos internos são os pontos críticos onde a derivada se anula ( ) ou não existe. Aqui é diferenciável para , então procuramos . - Depois de achar o ponto crítico, verificamos se é mínimo usando a segunda derivada: se
no ponto, então é mínimo local. Além disso, verificamos o comportamento da função nas extremidades do domínio ( e ) para concluir se é mínimo global.
Regra de diferenciação usada (lembrando):
-
. -
.
Passo 4
Calcular a derivada
:
Aplicando as regras:
Portanto
Igualando a zero para encontrar candidatos:
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
):
Logo
Assim o candidato é
Em valor decimal aproximado:
Passo 5
Verificação pelo teste da segunda derivada e comportamento das extremidades:
Calcule . A partir de
,
Calcule
Para todo
temos
, então
Em particular, em
tem-se
, portanto esse ponto crítico é um mínimo local. Como
e
e existe apenas um ponto crítico, esse mínimo é o mínimo global em
.
Passo 6
Calcular a resistência mínima
. Usamos a relação
para simplificar a substituição:
Como
então
. Substituindo:
E
, logo a expressão exata é
Valor numérico aproximado:
Passo 7
Resumo prático e conclusão rápida: a profundidade ótima é
(aprox.
) e a resistência mínima resultante é
(aprox.
unidades). Vai dar certo na prova — segue a conta direitinho e lembra de justificar o teste da segunda derivada como aqui.
Resposta
(a)
para
(b)
(c)
(b)
(c)