Um estaleiro naval está projetando a seção transversal do casco de uma embarcaçāo para minimizar a resistência total ao avanço na água. A resistencia total é composta por dois componentes: resistência por atrito e resistência por formaçāo de ondas.
A resistência por atrito é proporcional ao quadrado da área molhada, que por sua vez é proporcional ao quadrado da profundidade h do casco (em metros). A resistência por ondas é inversamente proporcional à profundidade do casco.
Dados experimentais mostram que a resistência por atrito contribui \operatorname{com} 0,8 h^{2} unidades e a resistência por ondas contribui com \frac{3,2}{h} unidades para a resistência total.
(a) Escreva a funçāo R(h) que representa a resistência total ao avanço.
(b) Determine a profundidade ótima do casco que minimiza a resistência total.
(c) Calcule o valor da resistencia minima.

Passo 1

O enunciado dá duas contribuições para a resistência total em função da profundidade h (em metros):
  • resistência por atrito: 0{,}8\,h^{2} (unidades de resistência);
  • resistência por formação de ondas: \dfrac{3{,}2}{h} (mesmas unidades).
O que se pede:
(a) escrever a função R(h) da resistência total;
(b) determinar a profundidade h que minimiza R(h);
(c) calcular o valor da resistência mínima.
Observação imediata: como aparece \dfrac{3{,}2}{h}, só faz sentido físico e matemático considerar h>0.

Passo 2

Montando a função resistência total como soma das duas contribuições dadas pelo enunciado, temos:
R(h)=0{,}8\,h^{2}+\dfrac{3{,}2}{h},\qquad h>0.

Passo 3

Estratégia para encontrar o mínimo (explicação didática):
  • Para uma função diferenciável em (0,\infty), pontos candidatos a mínimos internos são os pontos críticos onde a derivada se anula ( R'(h)=0) ou não existe. Aqui R é diferenciável para h>0, então procuramos R'(h)=0.
  • Depois de achar o ponto crítico, verificamos se é mínimo usando a segunda derivada: se R''(h)>0 no ponto, então é mínimo local. Além disso, verificamos o comportamento da função nas extremidades do domínio ( h\to0^{+} e h\to\infty) para concluir se é mínimo global.
Regra de diferenciação usada (lembrando):
  • \dfrac{d}{dh}h^{n}=n h^{n-1}.
  • \dfrac{d}{dh}\left(h^{-1}\right)=-h^{-2}.

Passo 4

Calcular a derivada R'(h):
R(h)=0{,}8\,h^{2}+3{,}2\,h^{-1}.
Aplicando as regras:
R'(h)=0{,}8\cdot 2\,h^{1}+3{,}2\cdot(-1)\,h^{-2}.
Portanto
R'(h)=1{,}6\,h-3{,}2\,h^{-2}.
Igualando a zero para encontrar candidatos:
1{,}6\,h-3{,}2\,h^{-2}=0.
Multiplicando ambos os lados por h^{2} (válido pois h>0):
1{,}6\,h^{3}-3{,}2=0.
Logo
h^{3}=\dfrac{3{,}2}{1{,}6}=2.
Assim o candidato é
h=2^{1/3}.
Em valor decimal aproximado:
h\approx 1{,}26\\ \text{m}.

Passo 5

Verificação pelo teste da segunda derivada e comportamento das extremidades:
Calcule R''(h). A partir de R'(h)=1{,}6\,h-3{,}2\,h^{-2},
R''(h)=1{,}6+3{,}2\cdot 2\,h^{-3}=1{,}6+6{,}4\,h^{-3}.
Para todo h>0 temos h^{-3}>0, então
R''(h)>0\quad\text{para todo }h>0.
Em particular, em h=2^{1/3} tem-se R''(2^{1/3})>0, portanto esse ponto crítico é um mínimo local. Como
\lim_{h\to0^{+}}R(h)=+\infty\quad\text{(term }3{,}2/h\text{ domina)}
e
\lim_{h\to\infty}R(h)=+\infty\quad\text{(term }0{,}8h^{2}\text{ domina)},
e existe apenas um ponto crítico, esse mínimo é o mínimo global em h>0.

Passo 6

Calcular a resistência mínima R_{\min}=R(2^{1/3}). Usamos a relação h^{3}=2 para simplificar a substituição:
R(h)=0{,}8\,h^{2}+\dfrac{3{,}2}{h}.
Como h^{3}=2 então h^{2}=2h^{-1}. Substituindo:
R(2^{1/3})=0{,}8\cdot(2h^{-1})+3{,}2\,h^{-1}=(1{,}6+3{,}2)\,h^{-1}=4{,}8\,h^{-1}.
E h^{-1}=2^{-1/3}, logo a expressão exata é
R_{\min}=4{,}8\cdot 2^{-1/3}.
Valor numérico aproximado:
R_{\min}\approx 3{,}81\\ \text{(unidades de resistência)}.ê

Passo 7

Resumo prático e conclusão rápida: a profundidade ótima é h=2^{1/3} (aprox. 1{,}26\\ \text{m}) e a resistência mínima resultante é 4{,}8\cdot 2^{-1/3} (aprox. 3{,}81 unidades). Vai dar certo na prova — segue a conta direitinho e lembra de justificar o teste da segunda derivada como aqui.

Resposta

(a) R(h)=0{,}8\,h^{2}+\dfrac{3{,}2}{h} para h>0
(b) h=2^{1/3}\approx 1{,}26\\ \text{m}
(c) R_{\min}=4{,}8\cdot 2^{-1/3}\approx 3{,}81

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