Uma residência está sendo projetada com foco em eficiência energética. O proprietário deseja determinar a espessura ótima de isolamento térmico nas paredes para minimizar o custo total anual, que inclui tanto o investimento inicial no material isolante quanto os gastos com aquecimento e resfriamento.
O custo anual do material isolante é proporcional à sua espessura, custando R
50
\mathrm{m}^{2}
1.200 por
de parede, determine:
(a) Expresse o custo total anual
em funçāo da espessura adicional
de isolamento.
(b) Determine a espessura ótima de isolamento adicional que minimiza o custo total anual.
(c) Calcule o custo total anual mínimo e compare com o custo sem isolamento adicional.
O custo anual do material isolante é proporcional à sua espessura, custando R
(a) Expresse o custo total anual
(b) Determine a espessura ótima de isolamento adicional que minimiza o custo total anual.
(c) Calcule o custo total anual mínimo e compare com o custo sem isolamento adicional.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Há uma espessura básica já existente de
na parede. - A espessura adicional de isolamento que vamos escolher é
, com . - O custo anual do material isolante é proporcional à espessura adicional e vale
por para cada centímetro de espessura extra. (Assim, para cm o custo anual do material é por .) - O custo anual de climatização (aquecimento+resfriamento) depende da espessura total do isolamento. Sem isolamento adicional (
), esse custo seria por de parede.
- Há uma espessura básica já existente de
- O enunciado pede:
(a) escrever o custo total anualem função de (com em );
(b) determinar a espessura ótimaque minimiza ;
(c) calcular o custo anual mínimo e comparar com o custo sem isolamento adicional.
Passo 2
Modelo físico e formulação do problema (explicação didática do porquê do modelo usado).
- Por que o custo de climatização depende inversamente da espessura? De forma simples e prática: a resistência térmica da parede aumenta aproximadamente proporcionalmente à espessura do isolamento. Como a transferência de calor (e, portanto, o gasto com climatização) é aproximadamente inversa à resistência térmica, é razoável modelar o custo de climatização como inversamente proporcional à espessura total do isolamento. Ou seja, se a espessura total for maior, o custo de climatização cai aproximadamente como
. - Então tomamos o modelo simples e comum em problemas didáticos:
- custo de climatização por
= , para alguma constante . - a espessura total é
(os já existentes mais os cm adicionais).
- custo de climatização por
- Determinar
usando a condição conhecida: para o custo de climatização é . Assim, - Portanto o custo anual de climatização por
é - O custo anual do material isolante por
é, conforme dado, - Somando os dois componentes obtemos o custo total anual por
: Isso responde a letra (a).
Passo 3
Preparação para optimização: ideias e cálculo da derivada.
- Para encontrar a espessura
que minimiza usamos cálculo: procuramos pontos críticos onde a derivada primeira se anula e verificamos que é mínimo. - Primeiro calculemos a derivada de
. Lembrete rápido de derivação: a derivada de é . A derivada de pode ser vista como ; a derivada de é vezes a derivada interna (que é ). Então: Ou, de forma equivalente,
Passo 4
Determinação do ponto crítico e verificação de mínimo.
- Igualamos a derivada a zero para achar candidatos a mínimo:
Isolando a fração: Multiplicando: Tomando raiz positiva (pois ): Assim - Valor numérico aproximado (útil na prova):
, então - Verificação que é mínimo: calculemos a segunda derivada. Da expressão de
, Como para temos , segue , logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é mínimo. Isso responde a letra (b).
Passo 5
Cálculo do custo mínimo e comparação com o caso sem isolamento adicional.
- Podemos calcular
diretamente, mas há um truque algébrico que facilita: da condição de primeiro ordem obtivemos Multiplicando ambos os lados por obtemos Substituindo na expressão de obtemos - Substituindo
, Valor numérico: - Comparação com o custo sem isolamento adicional: para
o custo era por . Assim a economia absoluta é o que corresponde a uma redução percentual de aproximadamente
Resposta
(a)
(b)
(c) Economia em relação a
:
por
(redução ≈
).
(b)
(c)