Uma residência está sendo projetada com foco em eficiência energética. O proprietário deseja determinar a espessura ótima de isolamento térmico nas paredes para minimizar o custo total anual, que inclui tanto o investimento inicial no material isolante quanto os gastos com aquecimento e resfriamento.
O custo anual do material isolante é proporcional à sua espessura, custando R \ 50 por\mathrm{m}^{2} a de espessura. Já o custo anual de climatizaçāo (aquecimento no inverno e resfriamento no verā cada ceut́smetro proporcional à espessura total de isolamento, incluindo os 2 cm de isolamento básico já existentes na parede. Sabendo que, sem isolamento adicional, o custo anual de climatizaçāo seria de R\áçāāàááçā 1.200 por \mathrm{m}^{2} de parede, determine:
(a) Expresse o custo total anual C(e) em funçāo da espessura adicional e(\mathrm{em} \mathrm{cm}) de isolamento.
(b) Determine a espessura ótima de isolamento adicional que minimiza o custo total anual.
(c) Calcule o custo total anual mínimo e compare com o custo sem isolamento adicional.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Há uma espessura básica já existente de \,2\\ \mathrm{cm}\, na parede.
    • A espessura adicional de isolamento que vamos escolher é \,e\\ (\mathrm{em}\\ \mathrm{cm}), com \,e\ge 0.
    • O custo anual do material isolante é proporcional à espessura adicional e vale \,\text{R\$}50 por \mathrm{m}^{2} para cada centímetro de espessura extra. (Assim, para \,e cm o custo anual do material é \,\text{R\$ }50\cdot e por \mathrm{m}^{2}.)
    • O custo anual de climatização (aquecimento+resfriamento) depende da espessura total do isolamento. Sem isolamento adicional ( e=0), esse custo seria \,\text{R\$ }1200 por \mathrm{m}^{2} de parede.
  • O enunciado pede:
    (a) escrever o custo total anual C(e) em função de e (com e em \mathrm{cm});
    (b) determinar a espessura ótima e que minimiza C(e);
    (c) calcular o custo anual mínimo e comparar com o custo sem isolamento adicional.

Passo 2

Modelo físico e formulação do problema (explicação didática do porquê do modelo usado).
  • Por que o custo de climatização depende inversamente da espessura? De forma simples e prática: a resistência térmica da parede aumenta aproximadamente proporcionalmente à espessura do isolamento. Como a transferência de calor (e, portanto, o gasto com climatização) é aproximadamente inversa à resistência térmica, é razoável modelar o custo de climatização como inversamente proporcional à espessura total do isolamento. Ou seja, se a espessura total for maior, o custo de climatização cai aproximadamente como 1/(\text{espessura total}).
  • Então tomamos o modelo simples e comum em problemas didáticos:
    • custo de climatização por \mathrm{m}^2 = \dfrac{k}{\text{espessura total (em cm)}}, para alguma constante k.
    • a espessura total é 2+e (os \,2\\ \mathrm{cm} já existentes mais os \,e cm adicionais).
  • Determinar k usando a condição conhecida: para e=0 o custo de climatização é \,\text{R\$ }1200. Assim, \frac{k}{2+0}=1200 \quad\Rightarrow\quad k=1200\cdot 2=2400.
  • Portanto o custo anual de climatização por \mathrm{m}^2 é \frac{2400}{2+e}.
  • O custo anual do material isolante por \mathrm{m}^2 é, conforme dado, 50\cdot e.
  • Somando os dois componentes obtemos o custo total anual por \mathrm{m}^2: C(e)=50\,e+\frac{2400}{2+e},\qquad e\ge 0.Isso responde a letra (a).

Passo 3

Preparação para optimização: ideias e cálculo da derivada.
  • Para encontrar a espessura e que minimiza C(e) usamos cálculo: procuramos pontos críticos onde a derivada primeira se anula e verificamos que é mínimo.
  • Primeiro calculemos a derivada de C(e). Lembrete rápido de derivação: a derivada de 50e é 50. A derivada de \dfrac{2400}{2+e} pode ser vista como 2400(2+e)^{-1}; a derivada de (2+e)^{-1} é -1(2+e)^{-2} vezes a derivada interna (que é 1). Então: C'(e)=50-2400(2+e)^{-2}.Ou, de forma equivalente, C'(e)=50-\frac{2400}{(2+e)^{2}}.

Passo 4

Determinação do ponto crítico e verificação de mínimo.
  • Igualamos a derivada a zero para achar candidatos a mínimo: 50-\frac{2400}{(2+e)^{2}}=0.Isolando a fração: \frac{2400}{(2+e)^{2}}=50.Multiplicando: (2+e)^{2}=\frac{2400}{50}=48.Tomando raiz positiva (pois 2+e>0): 2+e=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.Assim e=4\sqrt{3}-2.
  • Valor numérico aproximado (útil na prova): \sqrt{3}\approx 1,732, então e\approx 4\cdot 1,732-2\approx 6,928-2=4,928\\ \mathrm{cm}\approx 4,93\\ \mathrm{cm}.
  • Verificação que é mínimo: calculemos a segunda derivada. Da expressão de C'(e), C''(e)=\frac{4800}{(2+e)^{3}}.Como para e\ge 0 temos 2+e>0, segue C''(e)>0, logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é mínimo. Isso responde a letra (b).

Passo 5

Cálculo do custo mínimo e comparação com o caso sem isolamento adicional.
  • Podemos calcular C(e^{*}) diretamente, mas há um truque algébrico que facilita: da condição de primeiro ordem obtivemos \frac{2400}{(2+e^{*})^{2}}=50.Multiplicando ambos os lados por (2+e^{*}) obtemos \frac{2400}{2+e^{*}}=50(2+e^{*}).Substituindo na expressão de C(e) obtemos C(e^{*})=50e^{*}+\frac{2400}{2+e^{*}}=50e^{*}+50(2+e^{*})=100+100e^{*}.
  • Substituindo e^{*}=4\sqrt{3}-2, C_{\min}=100\bigl(4\sqrt{3}-1\bigr).Valor numérico: C_{\min}\approx 100\bigl(4\cdot 1,73205-1\bigr)\approx 100\cdot 5,9282\approx \text{R\$ }592,82\\ \text{por m}^2.
  • Comparação com o custo sem isolamento adicional: para e=0 o custo era \text{R\$ }1200 por \mathrm{m}^2. Assim a economia absoluta é 1200-592{,}82\approx \text{R\$ }607{,}18\\ \text{por m}^2,o que corresponde a uma redução percentual de aproximadamente \frac{607{,}18}{1200}\approx 0{,}506\approx 50{,}6\%.

Resposta

(a) C(e)=50\,e+\dfrac{2400}{2+e},\\ e\ge 0.
(b) e^{*}=4\sqrt{3}-2\approx 4{,}93\\ \mathrm{cm}.
(c) C_{\min}=100\bigl(4\sqrt{3}-1\bigr)\approx \text{R\$}592{,}82\\ \text{por m}^2. Economia em relação a e=0: \text{R\$ }607{,}18 por \mathrm{m}^2 (redução ≈ 50{,}6\%).

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