ODE. Find a solution of \left(a^{2}-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+ n(n+1) y=0, a \neq 0, by reduction to the Legendre equation.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(a^{2}-x^{2}\right) y''-2x y'+n(n+1)y=0,\quad a\neq 0,
e pede para encontrar uma solução fazendo redução para a equação de Legendre. Informações relevantes:
  • A incógnita é y=y(x).
  • O parâmetro a é não nulo ( a\neq 0).
  • O parâmetro n aparece como n(n+1); pode ser inteiro ou não, o enunciado não restringe explicitamente.
  • A meta: transformar a equação acima numa forma conhecida (a equação de Legendre) e usar suas soluções conhecidas para escrever y(x).

Passo 2

Primeiro deixo a equação numa forma mais explícita dividindo por (a^{2}-x^{2}) (válido onde a^{2}-x^{2}\neq0):
y''-\frac{2x}{a^{2}-x^{2}}\,y'+\frac{n(n+1)}{a^{2}-x^{2}}\,y=0.
Isto apenas expõe os coeficientes; a ideia é escolher uma mudança de variável que simplifique os coeficientes para a forma padrão de Legendre.

Passo 3

Faço a mudança de variável mais natural: escalo a variável independente para eliminar o parâmetro a. Defino
t=\frac{x}{a}.
Então x=a t. Vou escrever u(t) para a nova função tal que
u(t)=y(x)=y(a t).
Agora uso a regra da cadeia para obter as derivadas de y em termos de u:
  • Derivada primeira:
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
Como t=x/a, tem-se \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{a}. Logo
y'=\frac{1}{a}\,u'(t).
  • Derivada segunda: aplico derivada de y' em relação a x:
y''=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{a}u'(t)\right)=\frac{1}{a}\frac{d}{dx}u'(t)=\frac{1}{a}\left(\frac{du'}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\right)=\frac{1}{a}\left(u''(t)\cdot\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a^{2}}\,u''(t).
Portanto as fórmulas que usarei são
y'=\frac{1}{a}\,u',\qquad y''=\frac{1}{a^{2}}\,u'',
onde, por simplicidade, u'=du/dt e u''=d^{2}u/dt^{2}.

Passo 4

Substituo essas expressões na equação original. Lembre que x=a t implica a^{2}-x^{2}=a^{2}(1-t^{2}). A equação original
\left(a^{2}-x^{2}\right) y''-2x y'+n(n+1)y=0
fica (substituindo):
\bigl(a^{2}(1-t^{2})\bigr)\left(\frac{1}{a^{2}}u''\right)-2(at)\left(\frac{1}{a}u'\right)+n(n+1)u=0.
Agora simplifico termo a termo:
  • O primeiro termo: a^{2}(1-t^{2})\cdot\frac{1}{a^{2}}u''=(1-t^{2})u''.
  • O segundo termo: -2(at)\cdot\frac{1}{a}u'=-2t u'.
    Assim a equação reduz-se a
(1-t^{2})u''-2t u'+n(n+1)u=0.
Esta é precisamente a equação diferencial de Legendre na variável t.

Passo 5

Agora faço uma breve aula sobre a equação de Legendre para que fique claro o que usar:
  • A equação de Legendre padrão é
(1-t^{2})u''-2t u'+n(n+1)u=0.
  • Para esse problema n é o mesmo parâmetro que apareceu inicialmente.
  • As soluções gerais dessa equação são duas soluções linearmente independentes frequentemente denotadas por P_{n}(t) e Q_{n}(t):
    • \,P_{n}(t) é o polinômio de Legendre de ordem n quando n é inteiro não negativo; uma fórmula útil (Rodrigues) é P_{n}(t)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dt^{n}}\bigl(t^{2}-1\bigr)^{n}.Esse P_{n}(t) é regular (finito) em [-1,1].
    • \,Q_{n}(t) é a segunda solução (função de Legendre do segundo tipo); em geral \,Q_{n}(t) é singular (possui logaritmos) em t=\pm1.
  • Portanto a solução geral da equação de Legendre é
u(t)=C_{1}P_{n}(t)+C_{2}Q_{n}(t),
com constantes arbitrárias C_{1},C_{2}.

Passo 6

Volto à variável original x. Lembre que t=x/a e u(t)=y(x). Substituindo a solução u(t) obtemos a solução geral da equação original:
y(x)=C_{1}P_{n}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C_{2}Q_{n}\!\left(\frac{x}{a}\right).
Observações finais práticas (úteis na prova):
  • Se n for inteiro não negativo e a condição de contorno exigir solução regular em |x|\le |a| (isto é, em t\in[-1,1]), então deve-se escolher C_{2}=0 e a solução regular é
y(x)=C_{1}P_{n}\!\left(\frac{x}{a}\right).
  • Exemplos concretos: P_{0}(t)=1, P_{1}(t)=t, P_{2}(t)=\dfrac{3t^{2}-1}{2}. Assim, por exemplo, para n=1 uma solução regular é y(x)=C\cdot \dfrac{x}{a}.

Resposta

y(x)=C_{1}P_{n}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C_{2}Q_{n}\!\left(\dfrac{x}{a}\right)

(solução regular em |x|\le|a|, para n inteiro não negativo: y(x)=C\,P_{n}\!\left(\dfrac{x}{a}\right))

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