ODE. Find a solution of
, by reduction to the Legendre equation.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar uma solução fazendo redução para a equação de Legendre. Informações relevantes:
- A incógnita é
. - O parâmetro
é não nulo ( ). - O parâmetro
aparece como ; pode ser inteiro ou não, o enunciado não restringe explicitamente. - A meta: transformar a equação acima numa forma conhecida (a equação de Legendre) e usar suas soluções conhecidas para escrever
.
Passo 2
Primeiro deixo a equação numa forma mais explícita dividindo por
(válido onde
):
Isto apenas expõe os coeficientes; a ideia é escolher uma mudança de variável que simplifique os coeficientes para a forma padrão de Legendre.
Passo 3
Faço a mudança de variável mais natural: escalo a variável independente para eliminar o parâmetro
. Defino
Então
. Vou escrever
para a nova função tal que
Agora uso a regra da cadeia para obter as derivadas de
em termos de
:
- Derivada primeira:
Como
, tem-se
. Logo
- Derivada segunda: aplico derivada de
em relação a :
Portanto as fórmulas que usarei são
onde, por simplicidade,
e
.
Passo 4
Substituo essas expressões na equação original. Lembre que
implica
. A equação original
fica (substituindo):
Agora simplifico termo a termo:
- O primeiro termo:
. - O segundo termo:
.
Assim a equação reduz-se a
Esta é precisamente a equação diferencial de Legendre na variável
.
Passo 5
Agora faço uma breve aula sobre a equação de Legendre para que fique claro o que usar:
- A equação de Legendre padrão é
- Para esse problema
é o mesmo parâmetro que apareceu inicialmente. - As soluções gerais dessa equação são duas soluções linearmente independentes frequentemente denotadas por
e : -
é o polinômio de Legendre de ordem quando é inteiro não negativo; uma fórmula útil (Rodrigues) é Esse é regular (finito) em . -
é a segunda solução (função de Legendre do segundo tipo); em geral é singular (possui logaritmos) em .
-
- Portanto a solução geral da equação de Legendre é
com constantes arbitrárias
.
Passo 6
Volto à variável original
. Lembre que
e
. Substituindo a solução
obtemos a solução geral da equação original:
Observações finais práticas (úteis na prova):
- Se
for inteiro não negativo e a condição de contorno exigir solução regular em (isto é, em ), então deve-se escolher e a solução regular é
- Exemplos concretos:
, , . Assim, por exemplo, para uma solução regular é .
Resposta
(solução regular em