Estando os números 1,2, ldots, n dispostos em ordem aleatória, determine o número de maneiras em que os dígitos 1 e 2 apareçam como vizinho nessa ordem.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos os números embaralhados e a gente quer contar de quantas formas o e o ficam lado a lado com o vindo antes do . Isso é um problema de contagem de permutações na matéria de combinatória. Para resolver, vamos usar o conceito de fatorial (que conta permutações) e a ideia de “colar” o 1 e o 2 como um bloco.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do que é fatorial? Para um número inteiro positivo k! = k times (k-1)times (k-2) times cdots times 2 times 1 , definimos
Esse valor conta o número de jeitos de ordenar objetos distintos. Por exemplo, com 3 objetos dá ordens diferentes.

Passo 3

Agora vamos aplicar a técnica do bloco. Se a gente quer que o e o apareçam juntos na ordem “1 depois 2”, podemos imaginar que esses dois formam um único “super-objeto” [ ].
  • Em vez de objetos, agora temos esse bloco + os outros números, totalizando objetos.
  • O número de formas de arrumar esses objetos é .
  • E como dentro do bloco a ordem já está fixada em antes de , não multiplicamos por mais nada.

Resposta

boxed(n-1)!

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