Se n homens, dentre os quais A e B, estão em uma fila, qual o número de maneiras em que existam exatamente r homens entre A e B?

Passo 1

Beleza, o problema diz assim: temos homens alinhados numa fila, entre esses estão os caras e . Queremos contar de quantas formas dá pra organizar todo mundo de modo que exatamente outros caras fiquem entre e .
Isso é um exercício de princípio de contagem e permutações. Vamos precisar:
  1. Entender como posicionar e para haver pessoas entre eles.
  2. Saber que, depois disso, é só permutar o resto, que são caras.

Passo 2

Primeiro, pense na fila com j - i - 1 = r cadeiras numeradas de 1 a j = i + r + 1 . Se n - (r+1) = n - r - 1 estiver na cadeira e na cadeira , para ter exatamente homens entre eles vale
Isso implica
Como tem que ser pelo menos 1 e no máximo , varia de 1 até . Logo há
jeitos de escolher esse par de posições.
Além disso, em cada par de lugares podemos colocar na primeira cadeira e na segunda ou trocar: são 2 jeitos (2! formas) de arranjar e .

Passo 3

Depois de fixar e , sobra espaço pra outros caras, e a gente sabe que permutar objetos dá maneiras.
Juntando tudo pelo princípio fundamental da contagem:
  • Escolher o “bloco” de posições para e : jeitos
  • Arranjar e entre essas posições: jeitos
  • Permutar o resto ( caras): jeitos
Total = .

Resposta

boxed2,(n - r - 1),(n-2)!

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