Se
homens, dentre os quais
e
, estão em uma fila, qual o número de maneiras em que existam exatamente
homens entre
e
?
Passo 1
Beleza, o problema diz assim: temos
homens alinhados numa fila, entre esses estão os caras
e
. Queremos contar de quantas formas dá pra organizar todo mundo de modo que exatamente
outros caras fiquem entre
e
.
Isso é um exercício de princípio de contagem e permutações. Vamos precisar:
Isso é um exercício de princípio de contagem e permutações. Vamos precisar:
- Entender como posicionar
e para haver pessoas entre eles. - Saber que, depois disso, é só permutar o resto, que são
caras.
Passo 2
Primeiro, pense na fila com
cadeiras numeradas de 1 a
. Se
estiver na cadeira
e
na cadeira
, para ter exatamente
homens entre eles vale
Isso implica
Como
tem que ser pelo menos 1 e
no máximo
,
varia de 1 até
. Logo há
jeitos de escolher esse par de posições.
Além disso, em cada par de lugares
podemos colocar
na primeira cadeira e
na segunda ou trocar: são 2 jeitos (2! formas) de arranjar
e
.
Passo 3
Depois de fixar
e
, sobra espaço pra
outros caras, e a gente sabe que permutar
objetos dá
maneiras.
Juntando tudo pelo princípio fundamental da contagem:
- Escolher o “bloco” de posições para
e : jeitos - Arranjar
e entre essas posições: jeitos - Permutar o resto (
caras): jeitos
Total =
.