Estatisticas da aplicação de normas de segurança uma fábrica indicam que acidentes por trimestre têm acontecido com uma media de 12 accidentes neste periodo, seguindo a lei de Poisson, então,
Calcule a probabilidade do que num mês ocorra no maximo 3 acidentes?

Passo 1

O enunciado diz que acidentes por trimestre (trimeste = 3 meses) seguem a lei de Poisson com média de \,12 acidentes por trimestre. A pergunta é: qual a probabilidade de que, em um mês, ocorram no máximo \,3 acidentes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\, - média por trimestre: \,12 acidentes (dado do enunciado).
\, - um trimestre tem 3 meses (conhecimento comum usado para converter a taxa).
\, - a variável que conta acidentes em um intervalo segue Poisson.
Pergunta clara: calcular P(\text{no mês ocorrer no máximo 3 acidentes})êá, isto é P(X\leq 3) onde X é o número de acidentes em um mês.

Passo 2

O que é a distribuição de Poisson (aula rápida, sem medo):
A Poisson modela o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo de tempo (ou espaço), quando os eventos são independentes e têm taxa média constante. A fórmula de probabilidade é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
\, - X é a variável aleatória (número de acidentes no intervalo que escolhermos).
\, - k é o número específico de ocorrências (um inteiro \ge0).
\, - \lambda é a média (esperança) de X no intervalo considerado — ou seja, o número médio de acidentes naquele mesmo intervalo.
\, - e é a constante e\approx2,71828.
Então, para achar P(X\le3) somamos as probabilidades de k=0,1,2,3.

Passo 3

Precisamos do parâmetro \lambda para um mês. O enunciado deu média para um trimestre (3 meses): \,\lambda_{\text{trim}}=12. Como a Poisson é sobre o intervalo escolhido e a taxa é proporcional ao comprimento do intervalo, a média por mês é:
\lambda_{\text{mês}}=\frac{\lambda_{\text{trim}}}{3}=\frac{12}{3}=4.ê
Portanto, para um mês usaremos \lambda=4. (Intuição: em média 12 por 3 meses = 4 por mês.)

Passo 4

Escrevemos a probabilidade pedida com a fórmula de Poisson usando \lambda=4:
P(X\leq 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}.
Agora vamos calcular termo a termo e somar.

Passo 5

Calculemos e^{-4} e cada termo. Usarei uma aproximação decimal para e^{-4}:
e^{-4}\approx 0,01831563888873418.
Agora cada termo t_k=e^{-4}\dfrac{4^{k}}{k!}:
Para k=0:
t_0=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}\cdot 1 = 0,01831563888873418.
Para k=1:
t_1=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=e^{-4}\cdot 4 = 0,07326255555493672.
Para k=2:
t_2=e^{-4}\frac{4^{2}}{2!}=e^{-4}\frac{16}{2}=e^{-4}\cdot 8 = 0,14652511110987344.
Para k=3:
t_3=e^{-4}\frac{4^{3}}{3!}=e^{-4}\frac{64}{6}=e^{-4}\cdot \frac{64}{6}\approx e^{-4}\cdot 10,6666666667 = 0,1953668148131646.
(Se quiser, dá para entender as multiplicações sem calculadora: cada termo é o anterior multiplicado por \dfrac{4}{k}. Ex.: t_1= t_0\cdot \dfrac{4}{1}, t_2=t_1\cdot \dfrac{4}{2}, etc. Isso é útil na prova para calcular rapidamente termos sucessivos.)

Passo 6

Somamos os termos para obter P(X\le3):
\begin{aligned} P(X\le3)&=t_0+t_1+t_2+t_3\\[4pt] &=0,01831563888873418+0,07326255555493672\\[2pt] &\quad+0,14652511110987344+0,1953668148131646\\[4pt] &\approx 0,43347012036670895. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente, P(X\le3)\approx 0,43347, ou seja cerca de 43{,}35\%.]

Passo 7

Interpretação final (rápida e para te animar): em um mês, dado que a taxa média é de 4 acidentes por mês, a probabilidade de ter no máximo 3 acidentes é aproximadamente 0,43347. Não é nem muito pequena nem muito grande — algo em torno de 43\%. Isso significa que em cerca de 43 de cada 100 meses esperamos ver 3 ou menos acidentes, e nos outros esperamos 4 ou mais.

Resposta

P(X\leq 3)=0,43347

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