Estatisticas da aplicação de normas de segurança uma fábrica indicam que acidentes por trimestre têm acontecido com uma media de 12 accidentes neste periodo, seguindo a lei de Poisson, então,
Calcule a probabilidade do que num mês ocorra no maximo 3 acidentes?
Calcule a probabilidade do que num mês ocorra no maximo 3 acidentes?
Passo 1
O enunciado diz que acidentes por trimestre (trimeste = 3 meses) seguem a lei de Poisson com média de
acidentes por trimestre. A pergunta é: qual a probabilidade de que, em um mês, ocorram no máximo
acidentes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- média por trimestre:
acidentes (dado do enunciado).
- um trimestre tem
meses (conhecimento comum usado para converter a taxa).
- a variável que conta acidentes em um intervalo segue Poisson.
Pergunta clara: calcular , isto é
onde
é o número de acidentes em um mês.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta clara: calcular
Passo 2
O que é a distribuição de Poisson (aula rápida, sem medo):
A Poisson modela o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo de tempo (ou espaço), quando os eventos são independentes e têm taxa média constante. A fórmula de probabilidade é:
A Poisson modela o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo de tempo (ou espaço), quando os eventos são independentes e têm taxa média constante. A fórmula de probabilidade é:
onde:
-
é a variável aleatória (número de acidentes no intervalo que escolhermos).
-
é o número específico de ocorrências (um inteiro
).
-
é a média (esperança) de
no intervalo considerado — ou seja, o número médio de acidentes naquele mesmo intervalo.
-
é a constante
.
Então, para achar somamos as probabilidades de
.
Então, para achar
Passo 3
Precisamos do parâmetro
para um mês. O enunciado deu média para um trimestre (3 meses):
. Como a Poisson é sobre o intervalo escolhido e a taxa é proporcional ao comprimento do intervalo, a média por mês é:
Portanto, para um mês usaremos
. (Intuição: em média 12 por 3 meses = 4 por mês.)
Passo 4
Escrevemos a probabilidade pedida com a fórmula de Poisson usando
:
Agora vamos calcular termo a termo e somar.
Passo 5
Calculemos
e cada termo. Usarei uma aproximação decimal para
:
Agora cada termo
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
(Se quiser, dá para entender as multiplicações sem calculadora: cada termo é o anterior multiplicado por
. Ex.:
,
, etc. Isso é útil na prova para calcular rapidamente termos sucessivos.)
Passo 6
Somamos os termos para obter
:
Arredondando razoavelmente,
, ou seja cerca de
.]
Passo 7
Interpretação final (rápida e para te animar): em um mês, dado que a taxa média é de
acidentes por mês, a probabilidade de ter no máximo
acidentes é aproximadamente
. Não é nem muito pequena nem muito grande — algo em torno de
. Isso significa que em cerca de 43 de cada 100 meses esperamos ver 3 ou menos acidentes, e nos outros esperamos 4 ou mais.