Estatisticas da aplicação de normas de segurança uma fábrica indicam que acidentes por trimestre têm acontecido com uma media de 12 accidentes neste periodo, seguindo a lei de Poisson, então,
Qual é a probabilidade de que num periodo de 15 dias ocorram no maximo 2 acidentes?
Qual é a probabilidade de que num periodo de 15 dias ocorram no maximo 2 acidentes?
Passo 1
O problema diz o seguinte e pede uma coisa clara. Dados fornecidos:
- A média de acidentes por trimestre é
acidentes nesse período. - O número de acidentes segue a lei de Poisson.
- Queremos a probabilidade de que, em um período de
dias, ocorram no máximo acidentes (ou seja, , ou acidentes).
Passo 2
Primeiro precisamos transformar a média dada (por trimestre) numa média apropriada para um intervalo de
dias. Vou assumir que um trimestre tem
meses e, no contexto de exercícios, isso equivale a
dias (é o padrão em muitos exercícios e aqui gera um número bonito).
A taxa média por dia é
A taxa média por dia é
Então a média esperada em
dias (o parâmetro
da Poisson para esse intervalo) é
Explicação rápida do porquê: para um processo de Poisson a média cresce proporcionalmente ao comprimento do intervalo — se em
dias são
em média, em
dias a média é
.
Passo 3
Agora a fórmula da distribuição de Poisson — é importante entender bem ela porque é a ferramenta principal aqui. Se
é o número de acidentes em um intervalo com média (parâmetro)
, então a probabilidade de exatamente
acidentes é
Nessa fórmula:
-
é a variável aleatória (número de acidentes no intervalo que escolhemos), -
é a média esperada nesse mesmo intervalo, -
é o fatorial de (por exemplo, ), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Queremos a probabilidade de "no máximo" acidentes, isto é . Com a propriedade de soma de probabilidades temos
Passo 4
Substituímos
na fórmula e calculamos termo a termo.
Para
:
Para
:
Para
:
Somando:
Passo 5
Agora uma aproximação numérica útil na prova: calcule
. Sabemos que
. Multiplicando por
temos
Arredondando para quatro casas decimais (ou mantendo conforme a tabela da prova), obtemos aproximadamente
. Em palavras: cerca de
de chance de ocorrer no máximo
acidentes em
dias.