Estatisticas da aplicação de normas de segurança uma fábrica indicam que acidentes por trimestre têm acontecido com uma media de 12 accidentes neste periodo, seguindo a lei de Poisson, então,
Qual é a probabilidade de que num periodo de 15 dias ocorram no maximo 2 acidentes?

Passo 1

O problema diz o seguinte e pede uma coisa clara. Dados fornecidos:
  • A média de acidentes por trimestre é 12 acidentes nesse período.
  • O número de acidentes segue a lei de Poisson.
  • Queremos a probabilidade de que, em um período de 15 dias, ocorram no máximo 2 acidentes (ou seja, 0, 1 ou 2 acidentes).

Passo 2

Primeiro precisamos transformar a média dada (por trimestre) numa média apropriada para um intervalo de 15 dias. Vou assumir que um trimestre tem 3 meses e, no contexto de exercícios, isso equivale a 90 dias (é o padrão em muitos exercícios e aqui gera um número bonito).
A taxa média por dia é
\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\text{ acidentes por dia}.
Então a média esperada em 15 dias (o parâmetro \lambda da Poisson para esse intervalo) é
\lambda_{15} = \frac{2}{15}\cdot 15 = 2.
Explicação rápida do porquê: para um processo de Poisson a média cresce proporcionalmente ao comprimento do intervalo — se em 90 dias são 12 em média, em 15 dias a média é 12\times(15/90).

Passo 3

Agora a fórmula da distribuição de Poisson — é importante entender bem ela porque é a ferramenta principal aqui. Se X é o número de acidentes em um intervalo com média (parâmetro) \lambda, então a probabilidade de exatamente k acidentes é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Nessa fórmula:
  • X é a variável aleatória (número de acidentes no intervalo que escolhemos),
  • \lambda é a média esperada nesse mesmo intervalo,
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 2! = 2\cdot1 = 2),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
    Queremos a probabilidade de "no máximo 2" acidentes, isto é P(X\le 2). Com a propriedade de soma de probabilidades temos
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

Passo 4

Substituímos \lambda=2 na fórmula e calculamos termo a termo.
Para k=0:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}\cdot 1 = e^{-2}.
Para k=1:
P(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=e^{-2}\cdot 2 = 2e^{-2}.
Para k=2:
P(X=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=e^{-2}\cdot\frac{4}{2}=2e^{-2}.
Somando:
P(X\le 2)=e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}=5e^{-2}.

Passo 5

Agora uma aproximação numérica útil na prova: calcule e^{-2}. Sabemos que e^{-2}\approx 0,135335283. Multiplicando por 5 temos
5e^{-2}\approx 0,676676415.
Arredondando para quatro casas decimais (ou mantendo conforme a tabela da prova), obtemos aproximadamente 0,6767. Em palavras: cerca de 67,67\% de chance de ocorrer no máximo 2 acidentes em 15 dias.

Resposta

P(X\le 2)=5e^{-2}\approx 0,6767

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