- Um estatístico deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um tecnólogo em Grãos. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o estatístico deseja ter
de confiança em que a média amostral esteja a menos de
500,00
\sigma=\mathrm{R} $6250,00$.
- Baseado nos dados do exercícios 1 , utilize uma margem de erro maior, como R
1.000,00$ e determine qual seria o tamanho da amostra necessária nesta situação.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas relacionadas ao tamanho de amostra necessário para estimar uma média com certa precisão. Perguntas e dados fornecidos:
- Pergunta 1: Quantos valores de renda devem ser tomados para que, com
de confiança, a média amostral esteja a menos de da média populacional verdadeira? - Pergunta 2: Repetir a situação do item 1, mas agora usando margem de erro igual a
e determinar o tamanho da amostra necessário.
Dados fornecidos (retirados do enunciado):
- Desvio-padrão populacional conhecido:
. - Nível de confiança pedido no item 1:
. - Margem de erro desejada no item 1:
. - Margem de erro desejada no item 2:
.
Passo 2
Explicando o que precisamos usar (sem pressupor que você sabe): quando o desvio-padrão populacional
é conhecido e queremos que a média amostral esteja a uma certa distância
(margem de erro) da média populacional com um dado nível de confiança, usamos a fórmula que relaciona o tamanho da amostra
com esses quantidades. A fórmula é:
O que significa cada símbolo:
-
é o tamanho da amostra que queremos achar (número de observações). -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado; ele vem da tabela da normal padrão e depende de , onde é o nível de confiança. -
é o desvio-padrão populacional conhecido. -
é a margem de erro máxima permitida (a distância máxima entre média amostral e média populacional que aceitamos).
Por que essa fórmula? Razoando: o intervalo de confiança para a média, quando
é conhecido, tem a forma
e queremos que a metade do comprimento desse intervalo seja no máximo
. Assim
Isolando
chegamos à fórmula anterior.
Passo 3
Determinar
para
de confiança:
- O nível de confiança
implica . - Então
. O valor é o ponto tal que a cauda superior da normal padrão tem área . Na prática, esse valor é conhecido e tabelas/recursos dão:
Vou usar
para os cálculos (esse é o valor padrão para
de confiança).
Passo 4
Preparar a aplicação da fórmula com os dados do item 1:
-
. -
. -
.
A fórmula:
Passo 5
Calcular passo a passo o numerador para o item 1:
Primeiro calculemos
:
Agora multiplica por
:
Por fim, elevamos ao quadrado:
Passo 6
Interpretação e arredondamento (item 1):
- A fórmula deu
. Como deve ser um inteiro e queremos garantir que a margem de erro não seja maior do que , devemos sempre arredondar para cima (ceiling), ou seja, escolher o menor inteiro maior ou igual a . - Portanto o tamanho da amostra necessário é
.
Passo 7
Agora repetimos para o item 2 (margem de erro maior
). Dados:
-
. -
. -
(mesmo nível de confiança ).
Usamos a mesma fórmula:
Passo 8
Cálculo passo a passo para o item 2:
Primeiro
:
Multiplica por
:
Eleva ao quadrado:
Passo 9
Interpretação e arredondamento (item 2):
- Temos
. Arredondando para cima para garantir a margem de erro, obtemos .
Passo 10
Resumo final e comentário rápido de incentivo: reduzir a margem de erro exige aumentar a amostra muito; veja que ao dobrar
(de
para
) o tamanho da amostra cai bastante (de
para
). Tá indo bem — esses são passos padrão que costumam cair em prova, decore o raciocínio: escolher
, aplicar a fórmula e arredondar para cima.