1. Um estatístico deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um tecnólogo em Grãos. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o estatístico deseja ter 95 \% de confiança em que a média amostral esteja a menos de \mathrm{R} \ 500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas,éé\sigma=\mathrm{R} $6250,00$.
  2. Baseado nos dados do exercícios 1 , utilize uma margem de erro maior, como R \ 1.000,00$ e determine qual seria o tamanho da amostra necessária nesta situação.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas relacionadas ao tamanho de amostra necessário para estimar uma média com certa precisão. Perguntas e dados fornecidos:
  • Pergunta 1: Quantos valores de renda devem ser tomados para que, com 95\% de confiança, a média amostral esteja a menos de \mathrm{R}\$ 500,00 da média populacional verdadeira?
  • Pergunta 2: Repetir a situação do item 1, mas agora usando margem de erro igual a \mathrm{R}\$ 1.000,00 e determinar o tamanho da amostra necessário.
Dados fornecidos (retirados do enunciado):
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=\mathrm{R}\$ 6250,00.
  • Nível de confiança pedido no item 1: 95\%.
  • Margem de erro desejada no item 1: E=\mathrm{R}\$ 500,00.
  • Margem de erro desejada no item 2: E=\mathrm{R}\$ 1.000,00.

Passo 2

Explicando o que precisamos usar (sem pressupor que você sabe): quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido e queremos que a média amostral esteja a uma certa distância E (margem de erro) da média populacional com um dado nível de confiança, usamos a fórmula que relaciona o tamanho da amostra n com esses quantidades. A fórmula é:
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2
O que significa cada símbolo:
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar (número de observações).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado; ele vem da tabela da normal padrão e depende de \alpha, onde 1-\alpha é o nível de confiança.
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido.
  • E é a margem de erro máxima permitida (a distância máxima entre média amostral e média populacional que aceitamos).
Por que essa fórmula? Razoando: o intervalo de confiança para a média, quando \sigma é conhecido, tem a forma
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
e queremos que a metade do comprimento desse intervalo seja no máximo E. Assim
z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = E.
Isolando \,n chegamos à fórmula anterior.

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança:
  • O nível de confiança 1-\alpha=0,95 implica \alpha=0,05.
  • Então \alpha/2=0,025. O valor z_{0,025} é o ponto tal que a cauda superior da normal padrão tem área 0,025. Na prática, esse valor é conhecido e tabelas/recursos dão:
z_{0,025}=1,96.
Vou usar \;z_{\alpha/2}=1,96\; para os cálculos (esse é o valor padrão para 95\% de confiança).

Passo 4

Preparar a aplicação da fórmula com os dados do item 1:
  • \sigma=\mathrm{R}\$ 6250,00.
  • E=\mathrm{R}\$ 500,00.
  • z_{\alpha/2}=1,96.
A fórmula:
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.

Passo 5

Calcular passo a passo o numerador para o item 1:
Primeiro calculemos \dfrac{\sigma}{E}:
\frac{\sigma}{E}=\frac{\mathrm{R}\$\,6250,00}{\mathrm{R}\$\,500,00}=12,5.
Agora multiplica por z_{\alpha/2}:
z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{E}=1,96\cdot 12,5=24,5.
Por fim, elevamos ao quadrado:
n=(24,5)^2=600,25.

Passo 6

Interpretação e arredondamento (item 1):
  • A fórmula deu n=600,25. Como n deve ser um inteiro e queremos garantir que a margem de erro não seja maior do que E, devemos sempre arredondar para cima (ceiling), ou seja, escolher o menor inteiro maior ou igual a 600,25.
  • Portanto o tamanho da amostra necessário é n=601.

Passo 7

Agora repetimos para o item 2 (margem de erro maior \mathrm{R}\$ 1.000,00). Dados:
  • \sigma=\mathrm{R}\$ 6250,00.
  • E=\mathrm{R}\$ 1.000,00.
  • z_{\alpha/2}=1,96 (mesmo nível de confiança 95\%).
Usamos a mesma fórmula:
n=\left(\frac{1,96\cdot 6250}{1000}\right)^2.

Passo 8

Cálculo passo a passo para o item 2:
Primeiro \dfrac{\sigma}{E}:
\frac{\sigma}{E}=\frac{\mathrm{R}\$\,6250,00}{\mathrm{R}\$\,1000,00}=6,25.
Multiplica por z_{\alpha/2}:
1,96\cdot 6,25=12,25.
Eleva ao quadrado:
n=(12,25)^2=150,0625.

Passo 9

Interpretação e arredondamento (item 2):
  • Temos n=150,0625. Arredondando para cima para garantir a margem de erro, obtemos n=151.

Passo 10

Resumo final e comentário rápido de incentivo: reduzir a margem de erro exige aumentar a amostra muito; veja que ao dobrar E (de \mathrm{R}\$500,00 para \mathrm{R}\$ 1.000,00) o tamanho da amostra cai bastante (de 601 para 151). Tá indo bem — esses são passos padrão que costumam cair em prova, decore o raciocínio: escolher z, aplicar a fórmula e arredondar para cima.

Resposta

601
151

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