A seguir, temos a distribuição de frequência dos pesos de uma amostra de 45 alunos:
Peso (kg) 40 \vdash 45 45 \vdash 50 50 \vdash 55 55 \vdash 60 60 \vdash 65 65 \vdash 70
№ de alunos 4 10 15 8 5 3
a) Determinar o peso médio. b) Determinar a variância. c) Qual é o valor do coeficiente de variação? d) A distribuição é simétrica? Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de frequência por classes dos pesos de uma amostra de 45 alunos e pede quatro coisas: (a) o peso médio, (b) a variância, (c) o coeficiente de variação e (d) se a distribuição é simétrica (interpretação).
As informações relevantes (retiradas da tabela do enunciado) são as classes e suas frequências:
\begin{array}{l|cccccc} \text{Classe (kg)} & 40\vdash45 & 45\vdash50 & 50\vdash55 & 55\vdash60 & 60\vdash65 & 65\vdash70\\hline \text{Frequência }f_i & 4 & 10 & 15 & 8 & 5 & 3 \end{array}ê
A soma das frequências é \sum f_i = 45.
Não começo a calcular nada neste passo — apenas organizei os dados e as perguntas.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar as classes em pontos representativos (os pontos usados aqui serão os centros das classes, também chamados de pontos médios). Isto é comum quando trabalhamos com dados agrupados. Para cada classe calculo o ponto médio x_i como
x_i=\frac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}.
Calculo os pontos médios:
\begin{array}{lcl} \text{classe }40\vdash45&\Rightarrow& x_1=\dfrac{40+45}{2}=42{,}5,\\[4pt] \text{classe }45\vdash50&\Rightarrow& x_2=\dfrac{45+50}{2}=47{,}5,\\[4pt] \text{classe }50\vdash55&\Rightarrow& x_3=\dfrac{50+55}{2}=52{,}5,\\[4pt] \text{classe }55\vdash60&\Rightarrow& x_4=\dfrac{55+60}{2}=57{,}5,\\[4pt] \text{classe }60\vdash65&\Rightarrow& x_5=\dfrac{60+65}{2}=62{,}5,\\[4pt] \text{classe }65\vdash70&\Rightarrow& x_6=\dfrac{65+70}{2}=67{,}5. \end{array}
Esses x_i vão servir como valores representativos dentro de cada classe para estimar média e variância.]

Passo 3

Cálculo da média amostral (média dos dados agrupados). Fórmula (para dados agrupados, usando os pontos médios):
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe e x_i é o seu ponto médio. Vou calcular \sum f_i x_i fazendo os produtos f_i x_i:
\begin{array}{lcl} f_1 x_1 &=& 4\cdot 42{,}5 = 170{,}0,\\[4pt] f_2 x_2 &=& 10\cdot 47{,}5 = 475{,}0,\\[4pt] f_3 x_3 &=& 15\cdot 52{,}5 = 787{,}5,\\[4pt] f_4 x_4 &=& 8\cdot 57{,}5 = 460{,}0,\\[4pt] f_5 x_5 &=& 5\cdot 62{,}5 = 312{,}5,\\[4pt] f_6 x_6 &=& 3\cdot 67{,}5 = 202{,}5. \end{array}
Somando esses produtos:
\sum_i f_i x_i = 170 + 475 + 787{,}5 + 460 + 312{,}5 + 202{,}5 = 2407{,}5.
Como \sum_i f_i = 45, obtemos
\bar{x}=\frac{2407{,}5}{45}=53{,}5\\ \text{kg}.
Interpretação rápida: o peso médio estimado da amostra é 53{,}5 kg.]

Passo 4

Cálculo da variância (desvio quadrático médio) para dados agrupados. Há duas convenções (dividir por N ou por N-1). Aqui, como estamos descrevendo a amostra (estatística descritiva) e o enunciado pede “a variância” sem especificar teste inferencial, uso a fórmula descritiva (variância populacional da amostra) com denominador N=\sum f_i:
\sigma^2=\frac{\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2}{\sum_i f_i}.
Explico as variáveis:
  • x_i é o ponto médio da classe i;
  • \bar{x} é a média calculada ( 53{,}5);
  • f_i é a frequência da classe i;
  • \sigma^2 é a variância (unidade \text{kg}^2).
Calculo os termos (x_i-\bar{x}), seus quadrados, e multiplico por f_i:
\begin{array}{lcl} x_1-\bar{x}=42{,}5-53{,}5=-11{,}0,&(x_1-\bar{x})^2=121{,}0,&f_1(x_1-\bar{x})^2=4\cdot121=484{,}0,\\[4pt] x_2-\bar{x}=47{,}5-53{,}5=-6{,}0,&(x_2-\bar{x})^2=36{,}0,&f_2(x_2-\bar{x})^2=10\cdot36=360{,}0,\\[4pt] x_3-\bar{x}=52{,}5-53{,}5=-1{,}0,&(x_3-\bar{x})^2=1{,}0,&f_3(x_3-\bar{x})^2=15\cdot1=15{,}0,\\[4pt] x_4-\bar{x}=57{,}5-53{,}5=4{,}0,&(x_4-\bar{x})^2=16{,}0,&f_4(x_4-\bar{x})^2=8\cdot16=128{,}0,\\[4pt] x_5-\bar{x}=62{,}5-53{,}5=9{,}0,&(x_5-\bar{x})^2=81{,}0,&f_5(x_5-\bar{x})^2=5\cdot81=405{,}0,\\[4pt] x_6-\bar{x}=67{,}5-53{,}5=14{,}0,&(x_6-\bar{x})^2=196{,}0,&f_6(x_6-\bar{x})^2=3\cdot196=588{,}0. \end{array}
Somando os últimos termos:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 = 484 + 360 + 15 + 128 + 405 + 588 = 1980.
Dividindo por N=45:
\sigma^2=\frac{1980}{45}=44{,}0\\ \text{kg}^2.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{44}\approx 6{,}633\\ \text{kg}.]

Passo 5

Cálculo do coeficiente de variação (CV). Fórmula e interpretação: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa em relação à média, é adimensional e usualmente expresso em porcentagem:
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo \sigma\approx 6{,}633 e \bar{x}=53{,}5:
\text{CV}=\frac{6{,}633}{53{,}5}\times100\%\approx 12{,}4\%.
Interpretação rápida: a variação típica é cerca de 12{,}4\% da média — isto indica dispersão moderada.

Passo 6

Avaliação da simetria da distribuição. Uma forma prática de julgar simetria é comparar média, mediana e moda: numa distribuição simétrica esses três valores são aproximadamente iguais. Vou estimar mediana e moda a partir dos dados agrupados.
Mediana (posição N/2, interpolação na classe mediana). Temos cumulativas das frequências:
4,\\\ 4+10=14,\\\ 14+15=29,\\\ 29+8=37,\\\ 37+5=42,\\\ 42+3=45.
Como N/2=22{,}5, a mediana está na 3ª classe (50\vdash55) (porque a cumulativa atinge 29 nessa classe). Uso a interpolação linear para a mediana:
\text{Mediana } M = L + \frac{\frac{N}{2}-F}{f_{\text{med}}}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana (aqui L=50),
  • F é a frequência acumulada antes da classe (aqui F=14),
  • f_{\text{med}} é a frequência da classe mediana (aqui 15),
  • h é a amplitude da classe (aqui 5).
    Logo
M=50+\frac{22{,}5-14}{15}\cdot5=50+\frac{8{,}5}{15}\cdot5=50+2{,}833\approx 52{,}83\\ \text{kg}.
Moda (classe modal é a de maior frequência, aqui 50\vdash55 com f_1=15). Para uma estimativa da moda uso a fórmula de interpolação para moda em dados agrupados:
\text{Moda}\approx L + \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\cdot h,
onde f_1 é a frequência da classe modal, f_0 a da classe anterior, f_2 a da classe seguinte. Aqui L=50, f_1=15, f_0=10, f_2=8, h=5. Então
\text{Moda}\approx 50+\frac{15-10}{2\cdot15-10-8}\cdot5 =50+\frac{5}{30-18}\cdot5 =50+\frac{5}{12}\cdot5 =50+2{,}083\approx 52{,}08\\ \text{kg}.
Comparando os três:
\text{Moda}\approx52{,}08,\qquad \text{Mediana}\approx52{,}83,\qquad \bar{x}=53{,}5.
Observamos \text{Moda} < \text{Mediana} < \text{Média}é, o que indica assimetria à direita (assimetria positiva): a cauda direita puxa a média para valores maiores que a mediana e a moda. Conclusão: a distribuição não é simétrica; é levemente assimétrica à direita (positiva).

Resposta

Média: 53{,}5 kg
Variância: 44{,}0\\ \text{kg}^2
Coeficiente de variação: 12{,}4\%
Simetria: Não é simétrica — é ligeiramente assimétrica à direita (positiva), pois \text{moda}\approx52{,}08<\text{mediana}\approx52{,}83<\bar{x}=53{,}5.

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