A seguir, temos a distribuição de frequência dos pesos de uma amostra de 45 alunos:
Peso (kg)
№ de alunos
4
10
15
8
5
3
a) Determinar o peso médio. b) Determinar a variância. c) Qual é o valor do coeficiente de variação? d) A distribuição é simétrica? Interprete.
| Peso (kg) |
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| № de alunos | 4 | 10 | 15 | 8 | 5 | 3 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de frequência por classes dos pesos de uma amostra de
alunos e pede quatro coisas: (a) o peso médio, (b) a variância, (c) o coeficiente de variação e (d) se a distribuição é simétrica (interpretação).
As informações relevantes (retiradas da tabela do enunciado) são as classes e suas frequências:
As informações relevantes (retiradas da tabela do enunciado) são as classes e suas frequências:
A soma das frequências é
.
Não começo a calcular nada neste passo — apenas organizei os dados e as perguntas.
Não começo a calcular nada neste passo — apenas organizei os dados e as perguntas.
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar as classes em pontos representativos (os pontos usados aqui serão os centros das classes, também chamados de pontos médios). Isto é comum quando trabalhamos com dados agrupados. Para cada classe calculo o ponto médio
como
Calculo os pontos médios:
Esses
vão servir como valores representativos dentro de cada classe para estimar média e variância.]
Passo 3
Cálculo da média amostral (média dos dados agrupados). Fórmula (para dados agrupados, usando os pontos médios):
onde
é a frequência da
-ésima classe e
é o seu ponto médio. Vou calcular
fazendo os produtos
:
Somando esses produtos:
Como
, obtemos
Interpretação rápida: o peso médio estimado da amostra é
kg.]
Passo 4
Cálculo da variância (desvio quadrático médio) para dados agrupados. Há duas convenções (dividir por
ou por
). Aqui, como estamos descrevendo a amostra (estatística descritiva) e o enunciado pede “a variância” sem especificar teste inferencial, uso a fórmula descritiva (variância populacional da amostra) com denominador
:
Explico as variáveis:
-
é o ponto médio da classe ; -
é a média calculada ( ); -
é a frequência da classe ; -
é a variância (unidade ).
Calculo os termos
, seus quadrados, e multiplico por
:
Somando os últimos termos:
Dividindo por
:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Cálculo do coeficiente de variação (CV). Fórmula e interpretação: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa em relação à média, é adimensional e usualmente expresso em porcentagem:
Substituindo
e
:
Interpretação rápida: a variação típica é cerca de
da média — isto indica dispersão moderada.
Passo 6
Avaliação da simetria da distribuição. Uma forma prática de julgar simetria é comparar média, mediana e moda: numa distribuição simétrica esses três valores são aproximadamente iguais. Vou estimar mediana e moda a partir dos dados agrupados.
Mediana (posição
, interpolação na classe mediana). Temos cumulativas das frequências:
Como
, a mediana está na 3ª classe
(porque a cumulativa atinge 29 nessa classe). Uso a interpolação linear para a mediana:
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana (aqui ), -
é a frequência acumulada antes da classe (aqui ), -
é a frequência da classe mediana (aqui ), -
é a amplitude da classe (aqui ).
Logo
Moda (classe modal é a de maior frequência, aqui
com
). Para uma estimativa da moda uso a fórmula de interpolação para moda em dados agrupados:
onde
é a frequência da classe modal,
a da classe anterior,
a da classe seguinte. Aqui
,
,
,
,
. Então
Comparando os três:
Observamos
, o que indica assimetria à direita (assimetria positiva): a cauda direita puxa a média para valores maiores que a mediana e a moda. Conclusão: a distribuição não é simétrica; é levemente assimétrica à direita (positiva).
Resposta
Média:
kg
Variância:
Coeficiente de variação:
Simetria: Não é simétrica — é ligeiramente assimétrica à direita (positiva), pois .
Variância:
Coeficiente de variação:
Simetria: Não é simétrica — é ligeiramente assimétrica à direita (positiva), pois