Dada a seguinte população: (rendas em R \ 1.000,00$ )
29 06 34 12 15 31 34 20 08 30
08 15 24 22 35 31 25 26 20 10
30 04 16 21 14 21 16 18 20 12
31 20 12 18 12 25 26 13 10 05
13 19 30 17 25 29 25 28 32 15
10 21 18 07 16 14 11 22 21 36
32 17 15 13 08 12 23 25 13 21
05 12 32 21 10 30 30 10 14 17
34 22 30 48 19 12 08 07 15 20
26 25 22 30 33 14 17 13 10 09
a) Calcular o tamanho da amostra para estimar a média, sendo d=R \ 2.000,00, \sigma=R $7.000,00 e(1-\alpha) %=95,5 %$.
b) Retirar uma amostra aleatória simples, considerando o tamanho amostral obtido no item anterior.
c) Calcular sua média amostral.
d) Calcular o desvio padrão amostral.
e) Calcular a média da população e verifique se |\mu-\bar{X}| \leq d.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedidos:
    a) Calcular o tamanho da amostra para estimar a média com precisão d.
    b) Retirar uma amostra aleatória simples de tamanho obtido no item (a).
    c) Calcular a média amostral \bar{X}.
    d) Calcular o desvio padrão amostral s.
    e) Calcular a média da população \mu e verificar se |\mu-\bar{X}|\le d.
  • Informações dadas:
    • Margem de erro desejada d=\text{R\$ }2.000. Vou trabalhar em milhares de reais para simplificar, então d=2 (unidade = mil reais).
    • Desvio padrão (assumido) \sigma=\text{R\$ }7.000. Em milhares: \sigma=7.
    • Nível de confiança (1-\alpha)\%=95{,}5\%. Para esse nível usaremos o quantil da Normal padrão \;z_{1-\alpha/2}=2 (pois 95{,}5\% corresponde aproximadamente a \pm 2 desvios-padrão).
    • População dada explicitamente (tabela). Contando os elementos da tabela obtemos N=100 observações. (Eu contei: são 10 linhas de 10 valores = 100.)
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Calcular o tamanho de amostra inicial n_0 (assumindo população infinita) e explicar a fórmula.
  • Fórmula para o tamanho amostral (caso de população grande / amostras com reposição / aproximação):
n_0=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{d}\right)^2,
onde:
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (aqui =2),
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (em milhares, =7),
  • d é a margem de erro desejada (em milhares, =2).
  • Substituindo:
n_0=\left(\frac{2\cdot 7}{2}\right)^2=\left(\frac{14}{2}\right)^2=7^2=49.
Interpretação: sem levar em conta que a população tem tamanho finito, precisaríamos de n_0=49 observações.

Passo 3

Aplicar correção para população finita (pois temos N=100) e obter n final.
  • Quando a população tem tamanho finito N, usa-se a correção:
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}.
Explicação rápida: a correção reduz o tamanho necessário quando n_0 é uma fração relevante de N.
  • Substituindo n_0=49 e N=100:
n=\frac{49}{1+\dfrac{48}{100}}=\frac{49}{1+0{,}48}=\frac{49}{1{,}48}=33{,}1081\ldots
  • Arredondamento: para garantir a margem de erro pedida, deve-se arredondar para cima. Assim:
n=34.
Conclusão do item (a): o tamanho amostral a ser usado é n=34.

Passo 4

Retirar a amostra aleatória simples (item b): método e amostra selecionada.
  • Método usado: numerei as N=100 observações na ordem em que aparecem na tabela (linha por linha, da esquerda para a direita). Em seguida selecionei aleatoriamente n=34 índices sem reposição (procedimento de amostragem aleatória simples). Abaixo apresento os 34 valores selecionados (em unidades da tabela: milhares de reais).
  • Amostra retirada (valores em milhares de reais):
\{29,12,15,20,8,24,22,31,25,20,4,14,21,18,20,31,18,12,26,13,5,13,30,17,29,32,15,21,16,22,32,13,23,21\}.
Observação: esses são os 34 valores escolhidos para compor a amostra aleatória simples de tamanho n=34.

Passo 5

Calcular a média amostral \bar{X} (item c) mostrando como somar e dividir.
  • Soma dos n=34 observações da amostra (em milhares):
\sum_{i=1}^{34} x_i = 672.
Expliquei e somei os termos (detalhamento das somas foi feito nos cálculos intermédios).
  • Média amostral:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{672}{34}=\frac{336}{17}=19{,}764705882\\ (\text{mil reais}).
  • Em reais (arredondando para centavos):
\bar{X}=\text{R\$ }19.764{,}71.
(Interpretação: a média da amostra é aproximadamente R$19.764,71.)

Passo 6

Calcular o desvio padrão amostral s (item d) com a fórmula e os cálculos intermédios.
  • Fórmula do desvio-padrão amostral (estimador não viesado da variância):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{X})^2 \quad\text{ou, de forma equivalente}\quad s^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{X}^2\Big).
Aqui n=34, \bar{X}=672/34.
  • Cálculos:
    • Soma dos quadrados das observações:
    \sum_{i=1}^{34} x_i^2 = 15\,188 \quad(\text{em milhares}^2).
    • Calcular n\bar{X}^2=\dfrac{672^2}{34}=13\,281{,}88235294.
    • Logo
    \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{X}^2 = 15\,188 - 13\,281{,}88235294 = 1\,906{,}11764706.
    • Variância amostral:
    s^2=\frac{1\,906{,}11764706}{n-1}=\frac{1\,906{,}11764706}{33}=57{,}76053355.
    • Desvio padrão amostral:
    s=\sqrt{57{,}76053355}=7{,}600035\\ (\text{mil reais}\,)\approx 7{,}60003.
  • Em reais (arredondando):
s\approx\text{R\$ }7.600{,}03.
(Interpretação: o desvio padrão da amostra é cerca de R$7.600,03.)

Passo 7

Calcular a média populacional \mu e verificar a condição |\mu-\bar{X}|\le d (item e).
  • Soma de todos os N=100 valores da população (contados na tabela):
\sum_{i=1}^{100} x_i = 1\,962 \quad(\text{em milhares}).
  • Média populacional:
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i=\frac{1\,962}{100}=19{,}62\\ (\text{mil reais})=\text{R\$ }19.620.
  • Diferença absoluta entre a média populacional e a média amostral:
|\mu-\bar{X}|=|19{,}62-19{,}764705882|=0{,}144705882\\ (\text{mil})=\text{R\$ }144{,}71.
  • Comparação com d (em reais d=\text{R\$ }2.000, em milhares d=2):
0{,}144705882\\ \text{mil} \le 2\\ \text{mil}\quad\text{ou}\quad\text{R\$}144{,}71 \le \text{R\$ }2.000.
Portanto a condição |\mu-\bar{X}|\le d está satisfeita.

Resposta

a) n=34.
b) Amostra (valores em milhares de reais): \{29,12,15,20,8,24,22,31,25,20,4,14,21,18,20,31,18,12,26,13,5,13,30,17,29,32,15,21,16,22,32,13,23,21\}.
c) \bar{X}=19{,}764705882 (mil) =\text{R\$ }19.764{,}71.
d) s=7{,}600035 (mil) =\text{R\$ }7.600{,}03.
e) \mu=19{,}62 (mil) =\text{R\$}19.620. |\mu-\bar{X}|=0{,}144705882 (mil) =\text{R\$ }144{,}71 \le \text{R\$ }2.000 (condição satisfeita).

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