Dada a seguinte população: (rendas em
1.000,00$ )
29
06
34
12
15
31
34
20
08
30
08
15
24
22
35
31
25
26
20
10
30
04
16
21
14
21
16
18
20
12
31
20
12
18
12
25
26
13
10
05
13
19
30
17
25
29
25
28
32
15
10
21
18
07
16
14
11
22
21
36
32
17
15
13
08
12
23
25
13
21
05
12
32
21
10
30
30
10
14
17
34
22
30
48
19
12
08
07
15
20
26
25
22
30
33
14
17
13
10
09
a) Calcular o tamanho da amostra para estimar a média, sendo
2.000,00, \sigma=R $7.000,00
(1-\alpha) %=95,5 %$.
b) Retirar uma amostra aleatória simples, considerando o tamanho amostral obtido no item anterior.
c) Calcular sua média amostral.
d) Calcular o desvio padrão amostral.
e) Calcular a média da população e verifique se
.
| 29 | 06 | 34 | 12 | 15 | 31 | 34 | 20 | 08 | 30 |
| 08 | 15 | 24 | 22 | 35 | 31 | 25 | 26 | 20 | 10 |
| 30 | 04 | 16 | 21 | 14 | 21 | 16 | 18 | 20 | 12 |
| 31 | 20 | 12 | 18 | 12 | 25 | 26 | 13 | 10 | 05 |
| 13 | 19 | 30 | 17 | 25 | 29 | 25 | 28 | 32 | 15 |
| 10 | 21 | 18 | 07 | 16 | 14 | 11 | 22 | 21 | 36 |
| 32 | 17 | 15 | 13 | 08 | 12 | 23 | 25 | 13 | 21 |
| 05 | 12 | 32 | 21 | 10 | 30 | 30 | 10 | 14 | 17 |
| 34 | 22 | 30 | 48 | 19 | 12 | 08 | 07 | 15 | 20 |
| 26 | 25 | 22 | 30 | 33 | 14 | 17 | 13 | 10 | 09 |
b) Retirar uma amostra aleatória simples, considerando o tamanho amostral obtido no item anterior.
c) Calcular sua média amostral.
d) Calcular o desvio padrão amostral.
e) Calcular a média da população e verifique se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pedidos:
a) Calcular o tamanho da amostra para estimar a média com precisão.
b) Retirar uma amostra aleatória simples de tamanho obtido no item (a).
c) Calcular a média amostral.
d) Calcular o desvio padrão amostral.
e) Calcular a média da populaçãoe verificar se . -
Informações dadas:
- Margem de erro desejada
. Vou trabalhar em milhares de reais para simplificar, então (unidade = mil reais). - Desvio padrão (assumido)
. Em milhares: . - Nível de confiança
. Para esse nível usaremos o quantil da Normal padrão (pois corresponde aproximadamente a desvios-padrão). - População dada explicitamente (tabela). Contando os elementos da tabela obtemos
observações. (Eu contei: são 10 linhas de 10 valores = 100.)
- Margem de erro desejada
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Calcular o tamanho de amostra inicial
(assumindo população infinita) e explicar a fórmula.
- Fórmula para o tamanho amostral (caso de população grande / amostras com reposição / aproximação):
onde:
-
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (aqui ), -
é o desvio padrão populacional conhecido (em milhares, ), -
é a margem de erro desejada (em milhares, ). -
Substituindo:
Interpretação: sem levar em conta que a população tem tamanho finito, precisaríamos de
observações.
Passo 3
Aplicar correção para população finita (pois temos
) e obter
final.
- Quando a população tem tamanho finito
, usa-se a correção:
Explicação rápida: a correção reduz o tamanho necessário quando
é uma fração relevante de
.
- Substituindo
e :
- Arredondamento: para garantir a margem de erro pedida, deve-se arredondar para cima. Assim:
Conclusão do item (a): o tamanho amostral a ser usado é
.
Passo 4
Retirar a amostra aleatória simples (item b): método e amostra selecionada.
-
Método usado: numerei as
observações na ordem em que aparecem na tabela (linha por linha, da esquerda para a direita). Em seguida selecionei aleatoriamente índices sem reposição (procedimento de amostragem aleatória simples). Abaixo apresento os 34 valores selecionados (em unidades da tabela: milhares de reais). -
Amostra retirada (valores em milhares de reais):
Observação: esses são os 34 valores escolhidos para compor a amostra aleatória simples de tamanho
.
Passo 5
Calcular a média amostral
(item c) mostrando como somar e dividir.
- Soma dos
observações da amostra (em milhares):
Expliquei e somei os termos (detalhamento das somas foi feito nos cálculos intermédios).
- Média amostral:
- Em reais (arredondando para centavos):
(Interpretação: a média da amostra é aproximadamente R$19.764,71.)
Passo 6
Calcular o desvio padrão amostral
(item d) com a fórmula e os cálculos intermédios.
- Fórmula do desvio-padrão amostral (estimador não viesado da variância):
Aqui
,
.
-
Cálculos:
- Soma dos quadrados das observações:
- Calcular
. - Logo
- Variância amostral:
- Desvio padrão amostral:
-
Em reais (arredondando):
(Interpretação: o desvio padrão da amostra é cerca de R$7.600,03.)
Passo 7
Calcular a média populacional
e verificar a condição
(item e).
- Soma de todos os
valores da população (contados na tabela):
- Média populacional:
- Diferença absoluta entre a média populacional e a média amostral:
- Comparação com
(em reais , em milhares ):
Portanto a condição
está satisfeita.
Resposta
a)
.
b) Amostra (valores em milhares de reais):
.
c)
(mil)
.
d)
(mil)
.
e)
(mil)
.
(mil)
(condição satisfeita).