Mostre que as matrizes \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\} formam uma base para o espaço M_{2 x 2}.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes e pede para mostrar que elas formam uma base do espaço M_{2\times 2}. As matrizes fornecidas são (vou chamá‑las de A_1,A_2,A_3,A_4 para facilitar):
A_1=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\quad A_2=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right],\quad A_3=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right],\quad A_4=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{array}\right].
O que precisamos provar, de forma clara:
  • que essas quatro matrizes geram (fazem o span de) todo M_{2\times2}; e/ou
  • que são linearmente independentes;
  • e, usando que \dim(M_{2\times 2})=4, concluir que são uma base.]

Passo 2

Lembrete didático rápido (sem pular etapas):
  • M_{2\times 2} é o espaço de todas as matrizes 2\times2. Cada elemento pode ser escrito em termos da base padrão formada por
E_{11}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\; E_{12}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\; E_{21}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right],\; E_{22}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right].
  • A dimensão de M_{2\times2} é 4 porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes.
  • Teorema útil (muito prático na prova): se um conjunto tem exatamente \dim(V) vetores e gera V, então esse conjunto é uma base de V. Assim, aqui basta mostrar que as quatro matrizes geram M_{2\times2}.
Estratégia escolhida (simples e direta): mostrar que cada E_{ij} pode ser escrito como combinação linear de A_1,A_2,A_3,A_4. Assim as A_k geram a base padrão, logo geram todo M_{2\times2}. Como há 4 matrizes (igual à dimensão), concluímos que formam uma base.]

Passo 3

Montar a combinação linear geral. Seja
X = aA_1 + bA_2 + cA_3 + dA_4,
com a,b,c,d escalares. Vamos escrever X por entradas, comparando cada posição da matriz.
Calculemos entrada a entrada:
  • entrada (1,1): a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 0 = a + c.
  • entrada (1,2): a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = a + d.
  • entrada (2,1): a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = b + d.
  • entrada (2,2): a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 1 + d\cdot 1 = b + c + d.
Portanto, a combinação geral é
aA_1+bA_2+cA_3+dA_4= \left[\begin{array}{ll} a+c & a+d \\[4pt] b+d & b+c+d \end{array}\right].
Agora basta, para cada E_{ij}, resolver o sistema obtido igualando as entradas.]

Passo 4

Expressão de [E_{11}=\left[ \begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right]).
Igualando entradas ao que obtivemos:
\begin{cases} a+c = 1,\\[4pt] a+d = 0,\\[4pt] b+d = 0,\\[4pt] b+c+d = 0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • da segunda equação d=-a\]. - da terceira \(b=-d=a.
    - da quarta b+c+d=0\Rightarrow a+c+(-a)=c=0.
    - então pela primeira a+c=1\Rightarrow a=1.
Logo a=1,\;b=1,\;c=0,\;d=-1. Portanto
E_{11}=1\cdot A_1 + 1\cdot A_2 + 0\cdot A_3 + (-1)\cdot A_4.]

Passo 5

Expressão de [E_{12}=\left[ \begin{array}{ll}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right]).
Sistema:
\begin{cases} a+c = 0,\\[4pt] a+d = 1,\\[4pt] b+d = 0,\\[4pt] b+c+d = 0. \end{cases}
Resolvendo:
  • da terceira b=-d\]. - da quarta \((-d)+c+d=c=0\Rightarrow c=0.
    - da primeira a=0.
    - da segunda d=1.
    - então b=-d=-1.
Logo a=0,\;b=-1,\;c=0,\;d=1. Portanto
E_{12}=0\cdot A_1 + (-1)\cdot A_2 + 0\cdot A_3 + 1\cdot A_4,
ou simplesmente E_{12}=-A_2 + A_4.]

Passo 6

Expressão de [E_{21}=\left[ \begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right]).
Sistema:
\begin{cases} a+c = 0,\\[4pt] a+d = 0,\\[4pt] b+d = 1,\\[4pt] b+c+d = 0. \end{cases}
Resolvendo:
  • das duas primeiras temos a=-c\] e \(d=-a=c.
  • terceira dá b=1-d=1-c.
  • quarta: b+c+d=(1-c)+c+c=1+c=0\Rightarrow c=-1.
  • então a=-c=1, d=c=-1, b=1-c=1-(-1)=2.
Logo a=1,\;b=2,\;c=-1,\;d=-1. Portanto
E_{21}=1\cdot A_1 + 2\cdot A_2 + (-1)\cdot A_3 + (-1)\cdot A_4.]

Passo 7

Expressão de [E_{22}=\left[ \begin{array}{ll}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]).
Sistema:
\begin{cases} a+c = 0,\\[4pt] a+d = 0,\\[4pt] b+d = 0,\\[4pt] b+c+d = 1. \end{cases}
Resolvendo:
  • das duas primeiras a=-c\] e \(d=-a=c.
  • da terceira b=-d=-c.
  • então quarta: (-c)+c+c=c=1\Rightarrow c=1.
  • daí a=-1,\;d=1,\;b=-1.
Logo a=-1,\;b=-1,\;c=1,\;d=1. Portanto
E_{22}=(-1)\cdot A_1 + (-1)\cdot A_2 + 1\cdot A_3 + 1\cdot A_4.]

Passo 8

Conclusão lógica e final (passo a passo):
  • mostramos explicitamente que cada vetor da base padrão \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} é combinação linear de A_1,A_2,A_3,A_4.
  • portanto A_1,A_2,A_3,A_4 geram M_{2\times2}.
  • como \dim(M_{2\times2})=4 e temos exatamente 4 vetores, isso implica que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de M_{2\times2}.

Resposta

As quatro matrizes dadas formam uma base de M_{2\times2}.

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