Mostre que as matrizes \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\} formam uma base para o espaço M_{2 x 2}.
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes e pede para mostrar que elas formam uma base do espaço M_{2\times 2}. As matrizes fornecidas são (vou chamá‑las de A_1,A_2,A_3,A_4 para facilitar):
A dimensão de M_{2\times2} é 4 porque uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes.
Teorema útil (muito prático na prova): se um conjunto tem exatamente \dim(V) vetores e gera V, então esse conjunto é uma base de V. Assim, aqui basta mostrar que as quatro matrizes geram M_{2\times2}.
Estratégia escolhida (simples e direta): mostrar que cada E_{ij} pode ser escrito como combinação linear de A_1,A_2,A_3,A_4. Assim as A_k geram a base padrão, logo geram todo M_{2\times2}. Como há 4 matrizes (igual à dimensão), concluímos que formam uma base.]
Passo 3
Montar a combinação linear geral. Seja
X = aA_1 + bA_2 + cA_3 + dA_4,
com a,b,c,d escalares. Vamos escrever X por entradas, comparando cada posição da matriz.
Calculemos entrada a entrada:
entrada (1,1): a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 0 = a + c.
entrada (1,2): a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = a + d.
entrada (2,1): a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 0 + d\cdot 1 = b + d.
entrada (2,2): a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 1 + d\cdot 1 = b + c + d.
mostramos explicitamente que cada vetor da base padrão \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} é combinação linear de A_1,A_2,A_3,A_4.
portanto A_1,A_2,A_3,A_4 geram M_{2\times2}.
como \dim(M_{2\times2})=4 e temos exatamente 4 vetores, isso implica que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de M_{2\times2}.
Resposta
As quatro matrizes dadas formam uma base de M_{2\times2}.