Um estilista participará de um desfile para lançar sua mais recente coleção de moda. Das 12 peças desenvolvidas para a coleção, ele deve escolher 7 para apresentar no desfile, além de decidir a ordem de aparição dessas peças, criando uma narrativa que comunique o tema e as inspirações que o levaram a criar essa coleção.
Qual é o total de maneiras distintas que a coleção pode ser apresentada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Qual é o total de maneiras distintas que a coleção pode ser apresentada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado informa que há
peças disponíveis e o estilista deve escolher
delas para o desfile, além de determinar a ordem de apresentação dessas
peças. A pergunta é: qual o número total de maneiras distintas de escolher as
peças e ordená‑las?
Informações relevantes:
- Número total de peças disponíveis:
. - Número de peças a serem selecionadas e ordenadas:
. - A ordem de apresentação importa (ou seja, duas seleções com as mesmas peças mas ordens diferentes são consideradas distintas).
Passo 2
Vamos entender o conceito de fatorial, que vai aparecer nas fórmulas. Para um inteiro
, o fatorial
é definido como o produto de todos os inteiros positivos de
até
:
Exemplos:
Também vale por convenção
.
Passo 3
Explicação do raciocínio de contagem passo a passo (sem pular etapas): se escolhemos e ordenamos
peças dentre
, podemos pensar nas
posições do desfile como
escolhas sequenciais sem repetição:
- Para a primeira posição há
opções. - Após escolher a primeira peça, para a segunda posição restam
opções. - Para a terceira restam
opções. - E assim por diante, até a sétima posição, para a qual restam
opções.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de sequências possíveis é o produto desses números:
Agora ligamos esse produto à fórmula de permutações de
elementos escolhidos de um conjunto de
elementos (quando a ordem importa). A fórmula padrão é
onde
é o fatorial de
e
cancela os fatores que não entram na escolha ordenada de tamanho
. Aqui
e
, então
Note que isso é exatamente igual ao produto que escrevemos antes, pois
Passo 4
Para reforçar com um exemplo menor (mais fácil de visualizar): se houvessem
peças e escolhesse‑se
com ordem importando, as contagens seriam
escolhas para a primeira posição e
para a segunda, dando
opções; pela fórmula
. O raciocínio é o mesmo do problema com
e
.
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas, a expressão que corresponde ao número de maneiras distintas é
, que é a alternativa (C).
Resposta
(C)