Um estilista participará de um desfile para lançar sua mais recente coleção de moda. Das 12 peças desenvolvidas para a coleção, ele deve escolher 7 para apresentar no desfile, além de decidir a ordem de aparição dessas peças, criando uma narrativa que comunique o tema e as inspirações que o levaram a criar essa coleção.
Qual é o total de maneiras distintas que a coleção pode ser apresentada?
(A) 7!
(B) \frac{7!}{5!}
(C) \frac{12!}{5!}
(D) \frac{12!}{7!}
(E) \frac{12!}{7!5!}

Passo 1

O enunciado informa que há 12 peças disponíveis e o estilista deve escolher 7 delas para o desfile, além de determinar a ordem de apresentação dessas 7 peças. A pergunta é: qual o número total de maneiras distintas de escolher as 7 peças e ordená‑las?
Informações relevantes:
  • Número total de peças disponíveis: 12.
  • Número de peças a serem selecionadas e ordenadas: 7.
  • A ordem de apresentação importa (ou seja, duas seleções com as mesmas peças mas ordens diferentes são consideradas distintas).

Passo 2

Vamos entender o conceito de fatorial, que vai aparecer nas fórmulas. Para um inteiro n\ge1, o fatorial n! é definido como o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.
Exemplos:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24, \qquad 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Também vale por convenção 0! = 1.

Passo 3

Explicação do raciocínio de contagem passo a passo (sem pular etapas): se escolhemos e ordenamos 7 peças dentre 12, podemos pensar nas 7 posições do desfile como 7 escolhas sequenciais sem repetição:
  • Para a primeira posição há 12 opções.
  • Após escolher a primeira peça, para a segunda posição restam 11 opções.
  • Para a terceira restam 10 opções.
  • E assim por diante, até a sétima posição, para a qual restam 12-6=6 opções.
Pelo princípio multiplicativo, o número total de sequências possíveis é o produto desses números:
12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6.
Agora ligamos esse produto à fórmula de permutações de k elementos escolhidos de um conjunto de n elementos (quando a ordem importa). A fórmula padrão é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n e (n-k)! cancela os fatores que não entram na escolha ordenada de tamanho k. Aqui n=12 e k=7, então
P(12,7)=\frac{12!}{(12-7)!}=\frac{12!}{5!}.
Note que isso é exatamente igual ao produto que escrevemos antes, pois
\frac{12!}{5!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!}=12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6.

Passo 4

Para reforçar com um exemplo menor (mais fácil de visualizar): se houvessem 4 peças e escolhesse‑se 2 com ordem importando, as contagens seriam 4 escolhas para a primeira posição e 3 para a segunda, dando 4\cdot3=12 opções; pela fórmula \dfrac{4!}{(4-2)!}=\dfrac{4!}{2!}=12. O raciocínio é o mesmo do problema com 12 e 7.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a expressão que corresponde ao número de maneiras distintas é \dfrac{12!}{5!}, que é a alternativa (C).

Resposta

(C) \dfrac{12!}{5!}

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