Observando-se um cão durante seis horas após ele haver recebido um certo remédio, verificou-se que sua pressāo sangūinea ( em mmhg ) era dada por :
; onde
é medido em horas.
a) Esboce o gráfico da pressão nessas seis horas.
b) Quais os valores máximo e mínimo da pressāo durante este tempo e em que instantes estes valores ocorteram ?
c) Quando a pressão estava crescendo ? E decrescendo ?
a) Esboce o gráfico da pressão nessas seis horas.
b) Quais os valores máximo e mínimo da pressāo durante este tempo e em que instantes estes valores ocorteram ?
c) Quando a pressão estava crescendo ? E decrescendo ?
Passo 1
O enunciado dá a pressão sanguínea do cão, medida em mmHg, como função do tempo (em horas) no intervalo
:
As perguntas são:
- (a) Esboçar o gráfico de
em . - (b) Determinar os valores máximo e mínimo de
nesse intervalo e os instantes em que ocorrem. - (c) Determinar em que intervalos de tempo a pressão estava crescendo (aumentando) e em que intervalos estava decrescendo.
Passo 2
Plano de ataque (de um jeito bem prático): para encontrar máximos/minimos e os trechos em que a função sobe ou desce vamos usar a derivada. Vou lembrar rapidinho o que a derivada nos diz:
- A derivada
é a taxa instantânea de variação de em relação a . - Se
num intervalo, está crescendo ali. - Se
num intervalo, está decrescendo ali. - Pontos onde
(ou onde não existe) são candidatos a extremos (máximos ou mínimos); para classificar usamos a segunda derivada ou o sinal de ao redor do ponto.
Vou então calcular
, encontrar os pontos críticos, usar
para classificar localmente e avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades
e
para achar os extremos absolutos no intervalo.
Passo 3
Calcular
.
A regra básica: derivada de
é
; de
é
; de
é
; constante some zero. Portanto
Fatorando o polinômio:
Os pontos onde
são
e
. Esses são os candidatos a extremos no intervalo
.
Passo 4
Classificação local com a segunda derivada.
Calcular
:
Avaliar em cada candidato:
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades para obter os extremos absolutos no intervalo fechado
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Agora compare os quatro valores:
,
,
,
.
- O maior valor é
(máximo absoluto no intervalo). - O menor valor é
(mínimo absoluto no intervalo), embora haja também um mínimo local em com , que é maior que .
Passo 6
Determinar os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Análise dos sinais (sinal do produto):
- Para
: e então . Logo → cresce em . - Para
: e então . Logo → decresce em . - Para
: e então . Logo → cresce em .
Observações rápidas sobre inclusão dos pontos críticos: em
e
a derivada é zero; normalmente diriamos que o crescimento é para
e
, e a queda para
. Para desenho do gráfico, também é útil notar o ponto de inflexão onde
→
; a concavidade muda de para baixo (antes de
) para cima (depois de
).
Passo 7
Esboço do gráfico (descrição prática para você desenhar rápido na prova):
- Ponto inicial:
. - Sobe até o máximo em
com . - Desce passando por
onde muda a concavidade (inflection) e atinge um mínimo local em com . - Depois sobe novamente até
.
Trace uma curva suave que começa em, sobe até cerca de em , desce com concavidade para baixo até e depois com concavidade para cima até o mínimo local em , e finalmente sobe até em .
Resposta
(a) Gráfico: começa em
, sobe até
(máx.), decresce passando por
(inflection) até
(mín. local), e sobe até
.
(b) Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto:
(c) Crescendo em
e em
. Decrescendo em
.