Observando-se um cão durante seis horas após ele haver recebido um certo remédio, verificou-se que sua pressāo sangūinea ( em mmhg ) era dada por : P(t)=t^{3} / 3-(7 / 2) t^{2}+10 t+40, \quad 0 \leqslant t \leqslant 6; onde t é medido em horas.
a) Esboce o gráfico da pressão nessas seis horas.
b) Quais os valores máximo e mínimo da pressāo durante este tempo e em que instantes estes valores ocorteram ?
c) Quando a pressão estava crescendo ? E decrescendo ?

Passo 1

O enunciado dá a pressão sanguínea do cão, medida em mmHg, como função do tempo (em horas) no intervalo [0,6]:
P(t)=\frac{t^{3}}{3}-\frac{7}{2}t^{2}+10t+40,\qquad 0\le t\le 6.
As perguntas são:
  • (a) Esboçar o gráfico de P(t) em [0,6].
  • (b) Determinar os valores máximo e mínimo de P(t) nesse intervalo e os instantes em que ocorrem.
  • (c) Determinar em que intervalos de tempo a pressão estava crescendo (aumentando) e em que intervalos estava decrescendo.

Passo 2

Plano de ataque (de um jeito bem prático): para encontrar máximos/minimos e os trechos em que a função sobe ou desce vamos usar a derivada. Vou lembrar rapidinho o que a derivada nos diz:
  • A derivada P'(t) é a taxa instantânea de variação de P em relação a t.
  • Se P'(t)>0 num intervalo, P está crescendo ali.
  • Se P'(t)<0 num intervalo, P está decrescendo ali.
  • Pontos onde P'(t)=0 (ou onde P' não existe) são candidatos a extremos (máximos ou mínimos); para classificar usamos a segunda derivada P''(t) ou o sinal de P' ao redor do ponto.
Vou então calcular P'(t), encontrar os pontos críticos, usar P''(t) para classificar localmente e avaliar P nos pontos críticos e nas extremidades t=0 e t=6 para achar os extremos absolutos no intervalo.

Passo 3

Calcular P'(t).
A regra básica: derivada de t^3/3 é t^2; de -\tfrac{7}{2}t^2 é -7t; de 10t é 10; constante some zero. Portanto
P'(t)=t^{2}-7t+10.
Fatorando o polinômio:
P'(t)=(t-5)(t-2).
Os pontos onde P'(t)=0 são t=2 e t=5. Esses são os candidatos a extremos no intervalo [0,6].

Passo 4

Classificação local com a segunda derivada.
Calcular P''(t):
P''(t)=2t-7.
Avaliar em cada candidato:
P''(2)=2\cdot2-7=4-7=-3<0\quad\Rightarrow\quad t=2 \text{ é um máximo local.}éá
P''(5)=2\cdot5-7=10-7=3>0\quad\Rightarrow\quad t=5 \text{ é um mínimo local.}éí

Passo 5

Avaliar P(t) nos pontos críticos e nas extremidades para obter os extremos absolutos no intervalo fechado [0,6].
Calcular P(0):
P(0)=\frac{0^{3}}{3}-\frac{7}{2}\cdot0^{2}+10\cdot0+40=40.
Calcular P(2):
P(2)=\frac{2^{3}}{3}-\frac{7}{2}\cdot2^{2}+10\cdot2+40 =\frac{8}{3}-\frac{7}{2}\cdot4+20+40 =\frac{8}{3}-14+60 =\frac{8}{3}+46 =\frac{146}{3}\approx48{,}67.
Calcular P(5):
P(5)=\frac{5^{3}}{3}-\frac{7}{2}\cdot5^{2}+10\cdot5+40 =\frac{125}{3}-\frac{175}{2}+50+40 =\frac{125}{3}-\frac{175}{2}+90 =\frac{250-525+540}{6} =\frac{265}{6}\approx44{,}17.
Calcular P(6):
P(6)=\frac{6^{3}}{3}-\frac{7}{2}\cdot6^{2}+10\cdot6+40 =72-126+60+40 =46.
Agora compare os quatro valores: P(0)=40, P(2)=\tfrac{146}{3}\approx48{,}67, P(5)=\tfrac{265}{6}\approx44{,}17, P(6)=46.
  • O maior valor é P(2)=\tfrac{146}{3} (máximo absoluto no intervalo).
  • O menor valor é P(0)=40 (mínimo absoluto no intervalo), embora haja também um mínimo local em t=5 com P(5)=\tfrac{265}{6}, que é maior que P(0).

Passo 6

Determinar os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de P'(t)=(t-5)(t-2).
Análise dos sinais (sinal do produto):
  • Para 0\le t<2: t-2<0 e t-5<0 então (t-5)(t-2)>0. Logo P'(t)>0 P cresce em [0,2).
  • Para 2<t<5: t-2>0 e t-5<0 então (t-5)(t-2)<0. Logo P'(t)<0 P decresce em (2,5).
  • Para 5<t\le6: t-2>0 e t-5>0 então (t-5)(t-2)>0. Logo P'(t)>0 P cresce em (5,6].
Observações rápidas sobre inclusão dos pontos críticos: em t=2 e t=5 a derivada é zero; normalmente diriamos que o crescimento é para 0\le t<2 e 5<t\le6, e a queda para 2<t<5. Para desenho do gráfico, também é útil notar o ponto de inflexão onde P''(t)=0 2t-7=0\Rightarrow t=\tfrac{7}{2}=3{,}5; a concavidade muda de para baixo (antes de 3{,}5) para cima (depois de 3{,}5).

Passo 7

Esboço do gráfico (descrição prática para você desenhar rápido na prova):
  • Ponto inicial: \bigl(0,\,40\bigr).
  • Sobe até o máximo em \bigl(2,\,\tfrac{146}{3}\bigr) com \tfrac{146}{3}\approx48{,}67.
  • Desce passando por t=3{,}5 onde muda a concavidade (inflection) e atinge um mínimo local em \bigl(5,\,\tfrac{265}{6}\bigr) com \tfrac{265}{6}\approx44{,}17.
  • Depois sobe novamente até \bigl(6,\,46\bigr).
    Trace uma curva suave que começa em 40, sobe até cerca de 48{,}7 em t=2, desce com concavidade para baixo até t=3{,}5 e depois com concavidade para cima até o mínimo local em t=5, e finalmente sobe até 46 em t=6.

Resposta

(a) Gráfico: começa em P(0)=40, sobe até P(2)=\dfrac{146}{3}\approx48{,}67 (máx.), decresce passando por t=\dfrac{7}{2}=3{,}5 (inflection) até P(5)=\dfrac{265}{6}\approx44{,}17 (mín. local), e sobe até P(6)=46.
(b) Máximo absoluto: P(2)=\dfrac{146}{3}\\ \text{mmHg} em t=2\\ \text{h}.
Mínimo absoluto: P(0)=40\\ \text{mmHg} em t=0\\ \text{h}.
(c) Crescendo em 0\le t<2 e em 5<t\le6. Decrescendo em 2<t<5.

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