Estimar o intervalo de 90 \% de confiança para a proporção de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem, sabendo que uma amostra de 850 motoristas acusou que 544 falam ao celular enquanto dirigem.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime um intervalo de confiança de 90\% para a proporção de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem.
Informações fornecidas:
n = 850
\text{número de motoristas que disseram que falam ao celular} = 544ú
Portanto a pergunta é: qual é o intervalo de confiança de 90\% para a proporção verdadeira p da população?

Passo 2

Definir a estimativa pontual e a fórmula que vamos usar. A estimativa pontual para a proporção é a proporção amostral
\hat p = \frac{\text{número de sucessos}}{n} = \frac{544}{850}.ú
Calculemos:
\hat p = \frac{544}{850} = 0,64.
Explicação curta: \hat p é a fração da amostra que apresentou a característica (aqui, falar ao celular).

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança (método clássico, chamado de intervalo de Wald para proporção):
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hat p é a proporção amostral (já calculada).
  • z_{\alpha/2} é o quantil crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para nível de confiança 90\% temos \alpha = 0,10 e \alpha/2 = 0,05. O quantil que deixa 5\% na cauda superior é z_{0,95}\approx 1,645.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro-padrão (desvio padrão da proporção amostral).
    Também é importante checar a condição de aproximação normal: n\hat p = 850\cdot0,64 = 544 e n(1-\hat p) = 850\cdot0,36 = 306; ambos são bem maiores que 10, logo a aproximação normal é razoável.

Passo 4

Calcular o erro-padrão passo a passo:
Primeiro,
\hat p(1-\hat p) = 0,64\cdot 0,36 = 0,2304.
Depois dividir por n:
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n} = \frac{0,2304}{850} \approx 0,0002710588.
Agora a raiz quadrada (erro-padrão):
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \approx \sqrt{0,0002710588} \approx 0,016463.
Explicação: esse número diz, em termos de proporção, qual é a dispersão típica da proporção amostral em torno de \hat p.

Passo 5

Calcular a margem de erro multiplicando pelo quantil z_{0,95}:
z_{0,95}\cdot \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \approx 1,645\cdot 0,016463 \approx 0,02708.
Interpretação: com 90\% de confiança, a estimativa pode variar cerca de 0,02708 em torno de \hat p.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro de \hat p:
\text{limite inferior} = \hat p - 0,02708 = 0,64 - 0,02708 = 0,61292 \approx 0,6129,
\text{limite superior} = \hat p + 0,02708 = 0,64 + 0,02708 = 0,66708 \approx 0,6671.
Em porcentagens, isso equivale a aproximadamente 61,29\% até 66,71\%.

Passo 7

Interpretação final (curta e amigável): posso dizer com 90\% de confiança que a verdadeira proporção de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem está entre aproximadamente 0,6129 e 0,6671. Força aí — essa é a resposta que você pode usar na prova!

Resposta

(0,6129,\;0,6671)

Exercícios relacionados