Uma amostra aleatória de 1.600 eleitores, antes da realização de um plebiscito, mostrou que 1.280 eram partidários do “sim”. Determine o intervalo de confiança, ao nível de
de confiança, para a proporção dos eleitores favoráveis ao “sim”.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de confiança ao nível de
para a proporção dos eleitores favoráveis ao “sim”. As informações fornecidas são:
- Tamanho da amostra:
. - Número de favoráveis ao “sim”:
. - Nível de confiança:
.
Portanto, queremos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional
a partir desses dados amostrais.
Passo 2
Calculemos a proporção amostral
, que é a estimativa pontual de
. A fórmula é
Substituindo
e
:
Interpretação rápida: a amostra mostra
de aprovação.
Passo 3
Escolha do método. Para proporções, quando a amostra é grande usamos a aproximação normal (teorema do limite central) para
. A condição prática é que
e
sejam suficientemente grandes (regra comum: pelo menos
). Vamos checar:
ambos bem maiores que
. Logo a aproximação normal é válida e podemos usar o intervalo
Vou explicar cada termo no passo seguinte.
Passo 4
Explicando a fórmula e calculando o erro padrão (desvio-padrão da estimativa):
-
é a proporção amostral (já calculada). -
é o tamanho da amostra. - O termo
é o erro padrão (SE) de . Ele mede a variabilidade esperada da proporção amostral entre amostras diferentes.
Calculemos passo a passo:
Passo 5
Definindo o valor crítico
:
- Para nível de confiança
, temos e . - O valor crítico da normal padrão que deixa
em cada cauda é (valor tabelado ou memorizado).
Portanto
.
Passo 6
Calculemos a margem de erro
:
Passo 7
Agora o intervalo de confiança é
Calculando as extremidades:
Interpretação prática (jeito de falar na prova): “Estou
confiante de que a proporção verdadeira de eleitores favoráveis ao ‘sim’ está entre
e
.”
Dica rápida: em provas normalmente arredondam para duas casas decimais percentuais, ficando
ou, mais simplesmente,
dependendo da instrução de arredondamento.