Uma amostra aleatória de 1.600 eleitores, antes da realização de um plebiscito, mostrou que 1.280 eram partidários do “sim”. Determine o intervalo de confiança, ao nível de 95 \% de confiança, para a proporção dos eleitores favoráveis ao “sim”.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança ao nível de 95\% para a proporção dos eleitores favoráveis ao “sim”. As informações fornecidas são:
  • Tamanho da amostra: n=1600.
  • Número de favoráveis ao “sim”: x=1280.
  • Nível de confiança: 95\%.
Portanto, queremos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p a partir desses dados amostrais.

Passo 2

Calculemos a proporção amostral \hat{p}, que é a estimativa pontual de p. A fórmula é
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo x=1280 e n=1600:
\hat{p}=\frac{1280}{1600}=0,8.
Interpretação rápida: a amostra mostra 80\% de aprovação.

Passo 3

Escolha do método. Para proporções, quando a amostra é grande usamos a aproximação normal (teorema do limite central) para \hat{p}. A condição prática é que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) sejam suficientemente grandes (regra comum: pelo menos 10). Vamos checar:
n\hat{p}=1600\cdot 0,8=1280\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=1600\cdot 0,2=320,
ambos bem maiores que 10. Logo a aproximação normal é válida e podemos usar o intervalo
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Vou explicar cada termo no passo seguinte.

Passo 4

Explicando a fórmula e calculando o erro padrão (desvio-padrão da estimativa):
  • \hat{p} é a proporção amostral (já calculada).
  • n é o tamanho da amostra.
  • O termo \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (SE) de \hat{p}. Ele mede a variabilidade esperada da proporção amostral entre amostras diferentes.
Calculemos passo a passo:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,8\cdot 0,2=0,16.
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,16}{1600}=0,0001.
\text{SE}=\sqrt{0,0001}=0,01.

Passo 5

Definindo o valor crítico z_{\alpha/2}:
  • Para nível de confiança 95\%, temos \alpha=1-0,95=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • O valor crítico da normal padrão que deixa 2,5\% em cada cauda é z_{0,025}=1,96 (valor tabelado ou memorizado).
Portanto z_{\alpha/2}=1,96.

Passo 6

Calculemos a margem de erro E:
E = z_{\alpha/2}\cdot \text{SE} = 1,96\cdot 0,01 = 0,0196.

Passo 7

Agora o intervalo de confiança é
\hat{p}\pm E.
Calculando as extremidades:
\text{limite inferior} = 0,8-0,0196=0,7804,
\text{limite superior} = 0,8+0,0196=0,8196.
Interpretação prática (jeito de falar na prova): “Estou 95\% confiante de que a proporção verdadeira de eleitores favoráveis ao ‘sim’ está entre 78{,}04\% e 81{,}96\%.”
Dica rápida: em provas normalmente arredondam para duas casas decimais percentuais, ficando [78{,}04\%;81{,}96\%] ou, mais simplesmente, [78{,}0\%;82{,}0\%] dependendo da instrução de arredondamento.

Resposta

\displaystyle [0,7804;\;0,8196]

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