Uma empresa de exportação está preocupada com a metragem de seu produto. Sabemos que tal metragem tem uma distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão de 1 metro. Vamos fazer um teste em um lote de 100 produtos, cuja média é de 50 metros por produto. Determine o intervalo de confiança para um nível de confiança de 95 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • A metragem do produto tem distribuição aproximadamente normal.
    • O desvio padrão populacional é \sigma = 1 metro.
    • Tamanho da amostra n = 100.
    • Média amostral \bar{x} = 50 metros.
    • Nível de confiança 95\%.
  • O que é pedido:
    • Determinar o intervalo de confiança para a média populacional com o nível de confiança de 95\%.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos e por quê. Quando a variável é normalmente distribuída (ou a amostra é grande) e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional \mu é dado por
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=50).
  • \sigma é o desvio padrão da população (aqui \sigma=1).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=100).
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média: ele mede quanto a média amostral varia em torno da média populacional em amostras de tamanho n.
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda de tamanho \alpha/2; aqui \alpha=1-nível de confiança =1-0{,}95=0{,}05, logo \alpha/2=0{,}025. O valor de z_{0{,}025} (quantil de 0{,}975 da normal padrão) é aproximadamente 1{,}96.
    Esse z vem das propriedades da normal padrão: para cobrir 95\% da área central precisamos de 1{,}96 desvios-padrão para cada lado.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média. Usamos a fórmula \displaystyle \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\text{SE}=\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Aqui mostrei passo a passo: \sqrt{100}=10, então divide-se 1 por 10 resultando em 0{,}1.

Passo 4

Calcular a margem de erro (o termo z_{\alpha/2}\cdot \text{SE}). Usamos z_{0{,}025}=1{,}96 e \text{SE}=0{,}1:
\text{margem} = 1{,}96 \times 0{,}1 = 0{,}196.
Se você estiver com pouco tempo na prova, uma aproximação rápida é usar z\approx2, o que daria margem 0{,}2 (bem próximo de 0{,}196) — mas aqui usamos o valor mais preciso 1{,}96.

Passo 5

Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro da média amostral \bar{x}=50:
\text{limite inferior} = 50 - 0{,}196 = 49{,}804,
\text{limite superior} = 50 + 0{,}196 = 50{,}196.
Interpretação rápida: com 95\% de confiança, o verdadeiro valor médio da metragem está entre 49{,}804 e 50{,}196 metros. Isso significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a média verdadeira.

Passo 6

Dicas práticas para a prova:
  • Identifique primeiro se \sigma é conhecido; se for, use z. Se não, e n for pequeno, usaríamos t.
  • Calcule \text{SE}=\sigma/\sqrt{n} com cuidado: sempre simplify \sqrt{n} quando possível para evitar erro de cálculo.
  • Lembre que para 95\% costuma-se usar z=1{,}96 (ou 2 como aproximação rápida).
  • Escreva o intervalo no formato claro (\text{inferior},\text{superior}) ou com colchetes [\,,].

Resposta

\\ (49{,}804,\;50{,}196)

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