Uma empresa de exportação está preocupada com a metragem de seu produto. Sabemos que tal metragem tem uma distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão de 1 metro. Vamos fazer um teste em um lote de 100 produtos, cuja média é de 50 metros por produto. Determine o intervalo de confiança para um nível de confiança de
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados fornecidos:
- A metragem do produto tem distribuição aproximadamente normal.
- O desvio padrão populacional é
metro. - Tamanho da amostra
. - Média amostral
metros. - Nível de confiança
.
- O que é pedido:
- Determinar o intervalo de confiança para a média populacional com o nível de confiança de
.
- Determinar o intervalo de confiança para a média populacional com o nível de confiança de
Passo 2
Qual a fórmula que usamos e por quê. Quando a variável é normalmente distribuída (ou a amostra é grande) e o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional
é dado por
Explicando cada símbolo de forma simples:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o desvio padrão da população (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro padrão da média: ele mede quanto a média amostral varia em torno da média populacional em amostras de tamanho . -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda de tamanho ; aqui nível de confiança , logo . O valor de (quantil de da normal padrão) é aproximadamente .
Essevem das propriedades da normal padrão: para cobrir da área central precisamos de desvios-padrão para cada lado.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média. Usamos a fórmula
.
Aqui mostrei passo a passo:
, então divide-se
por
resultando em
.
Passo 4
Calcular a margem de erro (o termo
). Usamos
e
:
Se você estiver com pouco tempo na prova, uma aproximação rápida é usar
, o que daria margem
(bem próximo de
) — mas aqui usamos o valor mais preciso
.
Passo 5
Construir o intervalo somando e subtraindo a margem de erro da média amostral
:
Interpretação rápida: com
de confiança, o verdadeiro valor médio da metragem está entre
e
metros. Isso significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos dessa forma conteriam a média verdadeira.
Passo 6
Dicas práticas para a prova:
- Identifique primeiro se
é conhecido; se for, use . Se não, e for pequeno, usaríamos . - Calcule
com cuidado: sempre simplify quando possível para evitar erro de cálculo. - Lembre que para
costuma-se usar (ou como aproximação rápida). - Escreva o intervalo no formato claro
ou com colchetes .