Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e mede-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja; t0=ta+ts, onde ta é o tempo para a pedra atingir o fundo do poço e ts é o tempo gasto por o som. Suponha que a velocidade do som seja 344,0 m / s e a gravidade local seja de 9,8 m / s^2. Determine a alternativa correta para: (i) Tempo de queda da pedra até atingir o fundo do poço, se t0=1,7 s; (ii) profundidade (H) do poço.

Passo 1

Então, a gente tem um poço de profundidade desconhecida. A ideia é descobrir esse tamanho deixando uma pedra cair e medindo o tempo total até ouvir o som quando a pedra bate no fundo. A matéria que vamos usar aqui é Cinemática, que estuda o movimento, e um pouco de noções sobre o som. Precisamos saber a velocidade do som, que é 344 m/s, e a gravidade, que é 9,8 m/s².

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o tempo total $ t_0 $ é a soma do tempo que a pedra leva para cair ($ t_a t0 t_s $). Então, temos:
ta

Passo 3

Queremos encontrar $ t_a $, o tempo que a pedra leva para atingir o fundo. Para isso, vamos usar a fórmula do movimento de queda livre:
ta
Onde $ H $ é a profundidade do poço, $ g $ é a gravidade (9,8 m/s²), e $ t_a $ é o tempo de queda.

Passo 4

Agora, vamos relacionar $ t_s $, o tempo que o som leva para subir. Sabemos que:
ts
Onde $ v_s $ é a velocidade do som (344 m/s).

Passo 5

Como queremos expressar tudo em termos de $ t_a $, vamos substituir $ H $ da primeira equação na segunda:
ta
E como $ t_s = t_0 - t_a $, fica:
H

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para $ t_a $. Simplificando:
ta
4,9 ta^2 + 344 ta - 344 cdot 1,7 = 0

Passo 7

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
ta = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
$ a = 4,9 $,
$ b = 344 $,
$ c = -585 $.
Calculando o discriminante:
a = 4,9
b = 344

Passo 8

Agora, calculando $ t_a $:
ta
A raiz quadrada de 129754 é aproximadamente 359,8, então:
ta = -344 pm raiz1297549,8
ta = -344 + 359,89,8
ta = 15,89,8

Passo 9

Com $ t_a $ encontrado, podemos calcular a profundidade $ H $:
ta
H
H = 12 cdot 9,8 cdot (1,61)^2

Resposta

(i) O tempo de queda da pedra até atingir o fundo do poço é aproximadamente 1,61 segundos; (ii) A profundidade do poço é cerca de 12,69 metros.

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