Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e mede-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja;
, onde
é o tempo para a pedra atingir o fundo do poço e
é o tempo gasto por o som. Suponha que a velocidade do som seja
e a gravidade local seja de
. Determine a alternativa correta para: (i) Tempo de queda da pedra até atingir o fundo do poço, se
; (ii) profundidade
do poço.
Passo 1
Então, a gente tem um poço de profundidade desconhecida. A ideia é descobrir esse tamanho deixando uma pedra cair e medindo o tempo total até ouvir o som quando a pedra bate no fundo. A matéria que vamos usar aqui é Cinemática, que estuda o movimento, e um pouco de noções sobre o som. Precisamos saber a velocidade do som, que é 344 m/s, e a gravidade, que é 9,8 m/s².
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o tempo total $ t_0 $ é a soma do tempo que a pedra leva para cair ($ t_a
t_s $). Então, temos:
Passo 3
Queremos encontrar $ t_a $, o tempo que a pedra leva para atingir o fundo. Para isso, vamos usar a fórmula do movimento de queda livre:
Onde $ H $ é a profundidade do poço, $ g $ é a gravidade (9,8 m/s²), e $ t_a $ é o tempo de queda.
Passo 4
Agora, vamos relacionar $ t_s $, o tempo que o som leva para subir. Sabemos que:
Onde $ v_s $ é a velocidade do som (344 m/s).
Passo 5
Como queremos expressar tudo em termos de $ t_a $, vamos substituir $ H $ da primeira equação na segunda:
E como $ t_s = t_0 - t_a $, fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para $ t_a $. Simplificando:
Passo 7
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Onde:
$ a = 4,9 $,
$ b = 344 $,
$ c = -585 $.
Calculando o discriminante:
Passo 8
Agora, calculando $ t_a $:
A raiz quadrada de 129754 é aproximadamente 359,8, então:
Passo 9
Com $ t_a $ encontrado, podemos calcular a profundidade $ H $:
Resposta
(i) O tempo de queda da pedra até atingir o fundo do poço é aproximadamente 1,61 segundos; (ii) A profundidade do poço é cerca de 12,69 metros.