Dois corredores partem do mesmo ponto em uma pista circular de comprimento de 400 m, e percorrem o percurso no sentido anti-horário partindo com velocidade inicial de
e o corredor 2 com velocidade inicial de
e aceleração constante de
. Faça os cálculos e determine: (i) o módulo da velocidade do corredor 1 (
) e do corredor 2 (
) no instante de encontro? (ii) Em que instante os corredores se encontram? (iii) qual a aceleração centrípeta do corredor
e do corredor
? Dica:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois corredores que começam a correr de um mesmo ponto em uma pista circular de 400 metros. O Corredor 1 tem uma velocidade inicial de $ v_{10} = 7,0 , m/s $, enquanto o Corredor 2 começa com $ v_{20} = 5,0 , m/s $ e acelera constantemente a $ 0,28 , m/s^2 $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática para movimento uniforme e uniformemente variado, além de aceleração centrípeta para a parte final. Vamos resolver as três partes do exercício: encontrar as velocidades no encontro, o instante do encontro e as acelerações centrípetas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada corredor se movimenta. O Corredor 1 está com velocidade constante, ou seja, ele não acelera. A distância que ele percorre, $ \Delta S_{1} $, pode ser calculada pela fórmula do movimento uniforme:
Já o Corredor 2 está acelerando, então a distância que ele percorre, $ \Delta S_{2} $, é dada pela fórmula do movimento uniformemente variado:
Sabemos que a soma das distâncias que eles percorrem até se encontrarem é $ 370 , m $. Então:
Substituindo as fórmulas das distâncias:
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo $ t $ do encontro.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação:
Simplificando:
Reorganizando:
Essa é uma equação quadrática no formato $ a t^2 + b t + c = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 0,14 $
- $ b = 12,0 $
- $ c = -370 $
Passo 4
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Considerando apenas a solução positiva (tempo não pode ser negativo):
Passo 5
Agora que temos o tempo do encontro, vamos calcular as velocidades dos dois corredores nesse instante.
Para o Corredor 1, que tem velocidade constante:
Para o Corredor 2, que está acelerando, a velocidade no instante $ t $ é dada por:
Passo 6
Por último, vamos calcular as acelerações centrípetas de cada corredor. A aceleração centrípeta ($ a_c $) é dada pela fórmula:
Onde $ v $ é a velocidade e $ r $ o raio da pista. Primeiro, precisamos encontrar o raio da pista. Sabemos que o perímetro $ C $ da pista é 400 m, e $ C = 2\pi r $. Então:
Agora, calculamos as acelerações centrípetas:
Para o Corredor 1:
Para o Corredor 2:
Resposta
(i) No instante do encontro, a velocidade do Corredor 1 é $ v_{1} = 7,0 , m/s $ e a do Corredor 2 é $ v_{2} \approx 11,74 , m/s $.
(ii) Os corredores se encontram aproximadamente aos $ 24,07 $ segundos após o início.
(iii) As acelerações centrípetas são $ a_{c1} \approx 0,77 , m/s^2 $ para o Corredor 1 e $ a_{c2} \approx 2,16 , m/s^2 $ para o Corredor 2.