3.71 * Um piloto de avião coloca o curso da direção para oeste com uma bússola e mantém uma velocidade em relação ao ar de 220 km / h. Depois de voar durante 0,500 h, ele se encontra sobre uma cidade a 120 km a oeste e 20 km ao sul de sua posição inicial. (a) Ache a velocidade do vento (módulo, direção e sentido). (b) Se a velocidade do vento fosse igual a 40 km / h para o sul, em que direção o piloto deveria orientar seu curso para que pudesse se dirigir para oeste? Considere a mesma velocidade em relação ao ar de 220 km / h.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: um piloto aponta o avião para o oeste (pela bússola) e voa com velocidade de 220 km/h em relação ao ar. Depois de 0,500 h, ele está 120 km a oeste e 20 km ao sul do ponto de partida.
Conteúdo: movimento relativo e soma de vetores (velocidade do avião em relação ao ar + velocidade do vento = velocidade em relação ao solo).
O que vamos precisar:
  • Calcular a velocidade resultante em relação ao solo a partir do deslocamento e do tempo.
  • Usar vetor do avião e vetor vento para encontrar o vetor vento.
  • Depois, inversamente, ajustar a direção do avião pra compensar um vento dado.

Passo 2

Parte (a): achar velocidade do vento.
  1. Primeiro, velocidade em relação ao solo (vetor vec vsolo) é deslocamento dividido pelo tempo.
    Deslocamento: 120 km a oeste (eixo x negativo) e 20 km ao sul (eixo y negativo).
    Tempo: 0,5 h.
    Então
    vec vsolo = l(-120,,-20r)/0,5 = (-240,,-40) km/h
  2. A velocidade do avião em relação ao ar (vetor vec var) é pura-mente para oeste, com módulo 220 km/h, ou seja
    vec var = (-220, 0) km/h
  3. Como
    vec vsolo = vec var + vec vvento,
    temos
    vec vvento = vec vsolo - vec var = (-240,-40) - (-220,0) = (-20,,-40) km/h
  4. Agora módulo e direção:
    módulo
    |vec vvento| = raiz(-20)^2 + (-40)^2 = raiz400 + 1600 = raiz2000 approx 44,7 km/h
    direção: o vetor é para sudoeste. O ângulo theta abaixo do oeste é
    theta = arctan!l(tfrac4020r) = arctan(2) approx 63,4^circ
    ou seja, 63,4^circ ao sul do oeste.

Passo 3

Parte (b): vento de 40 km/h para o sul, ou seja
vec vvento = (0,,-40) km/h
Queremos que a velocidade resultante em relação ao solo seja só para oeste, sem componente norte/sul. Seja alpha o ângulo norte de oeste que o piloto deve apontar.
  1. Velocidade do avião em relação ao ar com esse ângulo:
    vec var = l(-220cosalpha,,+220sinalphar)
    (o x negativo é para oeste, o y positivo é para norte.)
  2. Soma das velocidades:
    vec vsolo = vec var + vec vvento = l(-220cosalpha,;220sinalpha - 40r)
  3. Pra ficar só oeste, queremos a componente y igual a zero:
    220sinalpha - 40 = 0 Rightarrow sinalpha = 40220 = 211 approx 0,1818
    Logo
    alpha = arcsin!l(tfrac211r) approx 10,5^circ

Resposta

(a) A velocidade do vento é 44,7 km/h, na direção 63,4^circ ao sul do oeste.
(b) O piloto deve apontar o curso 10,5^circ ao norte do oeste para ter movimento puro para oeste.

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